Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} (y - 1) d x + 2 (e^{x} + 4) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $e^{x} (y - 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$2 (e^{x} + 4) d y = - e^{x} (y - 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (2 (e^{x} + 4)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Étape 3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $e^{x} + 4$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ dans le numérateur.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Étape 3.5.2

Factorisez $y - 1$ à partir de $(e^{x} + 4) (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Étape 3.5.3

Factorisez $y - 1$ à partir de $e^{x} (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Étape 3.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Étape 3.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 4} e^{x} d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{- 1}{e^{x} + 4}$ et $e^{x}$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Étape 4.2.2

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Différenciez $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 4.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 4.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 4.2.2.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Étape 4.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Étape 4.2.4

Simplifiez

$2 \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Étape 4.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y - 1$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = e^{x} + 4$ . Alors $d u_{2} = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = e^{x} + 4$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $e^{x} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} + 0$

Étape 4.3.2.1.4.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$e^{x}$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x} + 4$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$2 \ln (| y - 1 |) = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y - 1 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Étape 5.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y - 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |) = C$

Étape 5.2.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |)$ .

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2}) = C$

Étape 5.3

Développez $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ comme $\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$

Étape 5.3.2

Développez $\ln ({(y - 1)}^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1)$

Étape 5.4

L’équation développée est $\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$

Étape 5.5

Soustrayez $\ln (| e^{x} + 4 |)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ par $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $\ln (y - 1)$ par $1$ .

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Étape 5.7

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Étape 5.8

Réécrivez $\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} = y - 1$

Étape 5.9

Résolvez $y$ .

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Étape 5.9.1

Réécrivez l’équation comme $y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Étape 5.9.2

Simplifiez $e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

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Étape 5.9.2.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Étape 5.9.2.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Étape 5.9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y - 1 = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Étape 5.9.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.9.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Étape 5.9.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.9.3.2.1

Divisez la fraction $\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ en deux fractions.

$y = e^{\frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Étape 5.9.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = e^{C - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C} + 1$

Étape 6.3

Réécrivez $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C}$ comme $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C}$ .

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C} + 1$

Étape 6.4

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = e^{C} e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$