Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d r}{d t} = \frac{2 t + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $t$ à partir de $2 t + t r^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $t$ à partir de $2 t$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $t$ à partir de $t r^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t (r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot 2 + t (r^{2})$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Étape 1.1.4

Multipliez $t$ par $2 + r^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez $r$ à partir de $4 r + r t^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $r$ à partir de $4 r$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r t^{2}}$

Étape 1.2.2

Factorisez $r$ à partir de $r t^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r (t^{2})}$

Étape 1.2.3

Factorisez $r$ à partir de $r \cdot 4 + r (t^{2})$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot (4 + t^{2})}$

Étape 1.2.4

Multipliez $r$ par $4 + t^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{r}{2 + r^{2}}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} (\frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{t}{4 + t^{2}}$ par $\frac{2 + r^{2}}{r}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{(4 + t^{2}) r}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $r$ à partir de $(4 + t^{2}) r$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{4 + t^{2}}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $2 + r^{2}$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $2 + r^{2}$ à partir de $t (2 + r^{2})$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

Étape 1.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

Étape 1.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{r}{2 + r^{2}} d r = \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{r}{2 + r^{2}} d r = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 + r^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 r d r$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = r d r$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 + r^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [2 + r^{2}]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + r^{2}$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $2$ par rapport à $r$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 r$ .

$2 r$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 + r^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = 4 + t^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 t d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = 4 + t^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $4 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [4 + t^{2}]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.3.1.1.3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 t$ .

$2 t$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 2 + r^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 4 + t^{2} |)$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 2 + r^{2} |) - \ln (| 4 + t^{2} |) = 2 C$

Étape 3.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $r$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |})} = e^{2 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}$

Étape 3.7

Résolvez $r$ .

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$

Étape 3.7.2

Multipliez les deux côtés par $| 4 + t^{2} |$ .

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.3.1

Annulez le facteur commun de $| 4 + t^{2} |$ .

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Étape 3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Étape 3.7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 2 + r^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Étape 3.7.4

Résolvez $r$ .

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Étape 3.7.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 C} | 4 + t^{2} |$ .

$| 2 + r^{2} | = | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

Étape 3.7.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 + r^{2} = \pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

Étape 3.7.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$ .

$2 + r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Étape 3.7.4.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2$

Étape 3.7.4.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$r = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$r = \pm \sqrt{\pm C | 4 + t^{2} | - 2}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$r = \pm \sqrt{C | 4 + t^{2} | - 2}$