Calcul infinitésimal Exemples

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y - 7 d x = 0$

Étape 1

Ajoutez $7 d x$ aux deux côtés de l’équation.

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y = 7 d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 - x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $1 - x^{2}$ à partir de $(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)$ .

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) (\cos (3 y))) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1^{2} - x^{2}} \cdot 7 d x$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} \cdot 7 d x$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$ et $7$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \cos (3 y) d y = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = 3 y$ . Alors $d u_{1} = 3 d y$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = 3 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Étape 4.2.1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 4.2.1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.2

Associez $\cos (u_{1})$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 y$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.3.2

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 4.3.2.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 4.3.2.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Étape 4.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 4.3.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.6.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 4.3.2.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.1.2

Divisez $(A) (1 - x)$ par $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.5

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 4.3.2.1.6.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.5.2

Divisez $(B) (1 + x)$ par $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Étape 4.3.2.1.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Étape 4.3.2.1.6.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Étape 4.3.2.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1.7.1

Déplacez $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Étape 4.3.2.1.7.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Étape 4.3.2.1.7.3

Déplacez $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Étape 4.3.2.1.7.4

Déplacez $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Étape 4.3.2.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 4.3.2.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 1 A + B$

Étape 4.3.2.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 4.3.2.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Étape 4.3.2.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 4.3.2.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = A + B$ .

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Étape 4.3.2.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Étape 4.3.2.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Étape 4.3.2.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1 - B$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.2.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = - 1 A + B$ par $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.2.2.1

Simplifiez $- 1 (1 - B) + B$ .

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Étape 4.3.2.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1 (- B)$ .

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Étape 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.3.2.2.1.2

Additionnez $B$ et $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - 1 + 2 B$ .

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Étape 4.3.2.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.3.3.3

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.2.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = 1 - B$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.4.2.1

Simplifiez $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Étape 4.3.2.3.4.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2.3.4.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2.3.4.2.1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez

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Étape 4.3.2.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 4.3.2.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 4.3.2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Étape 4.3.2.5.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 4.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Étape 4.3.5

Laissez $u_{2} = 1 + x$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.5.1

Laissez $u_{2} = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.5.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.5.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.3.5.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Étape 4.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Étape 4.3.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Étape 4.3.8

Laissez $u_{3} = 1 - x$ . Alors $d u_{3} = - d x$ , donc $- d u_{3} = d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 4.3.8.1

Laissez $u_{3} = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 4.3.8.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 4.3.8.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Étape 4.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Étape 4.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Étape 4.3.11

L’intégrale de $\frac{1}{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Étape 4.3.12

Simplifiez

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Étape 4.3.13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 4.3.13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Étape 4.3.13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Étape 4.3.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sin (3 y)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 + x |)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Étape 5.1.2.1.1.2

Associez $\ln (| 1 - x |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Étape 5.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 \frac{\ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Étape 5.1.2.1.3

Associez $7$ et $\frac{\ln (| 1 + x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Étape 5.1.2.1.4

Multipliez $7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2})$ .

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Étape 5.1.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - 7 \frac{\ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Étape 5.1.2.1.4.2

Associez $- 7$ et $\frac{\ln (| 1 - x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Étape 5.1.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ par $6$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ par $6$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot 6 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 (2)) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 \cdot 2) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Étape 5.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (3 y) \cdot 2 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Étape 5.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (3 y)$ .

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Étape 5.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Étape 5.2.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sin (3 y) = 7 \ln (| 1 + x |) \cdot 3 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Étape 5.2.3.1.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Étape 5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2}$ dans le numérateur.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Étape 5.2.3.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 (3)) + C \cdot 6$

Étape 5.2.3.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + C \cdot 6$

Étape 5.2.3.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 7 \ln (| 1 - x |) \cdot 3 + C \cdot 6$

Étape 5.2.3.1.4

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + C \cdot 6$

Étape 5.2.3.1.5

Déplacez $6$ à gauche de $C$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez $21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$ .

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1.1

Simplifiez $21 \ln (| 1 + x |)$ en déplaçant $21$ dans le logarithme.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Étape 5.3.1.1.2

Simplifiez $- 21 \ln (| 1 - x |)$ en déplaçant $21$ dans le logarithme.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - \ln ({| 1 - x |}^{21}) + 6 C$

Étape 5.3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \sin (3 y) = \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 6 C$

Étape 5.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) = - 2 \sin (3 y) + 6 C$

Étape 5.5

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 2 \sin (3 y) + 6 C = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$

Étape 5.6

Soustrayez $6 C$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$

Étape 5.7

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Étape 5.7.2.1.2

Divisez $\sin (3 y)$ par $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Étape 5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Étape 5.7.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $- 2$ .

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Étape 5.7.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6 C$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2}$

Étape 5.7.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.3.1.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 (1)}$

Étape 5.7.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 \cdot 1}$

Étape 5.7.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{3 C}{1}$

Étape 5.7.3.1.2.2.4

Divisez $3 C$ par $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C$

Étape 5.8

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$3 y = \arcsin (\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C)$

Étape 5.9

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.9.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ .

$3 y = \arcsin (\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 3 C)$

Étape 5.9.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$3 y = \arcsin (\ln ({(\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}^{\frac{1}{2}}) + 3 C)$

Étape 5.9.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Étape 5.9.1.4

Multipliez les exposants dans ${({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.9.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21 (\frac{1}{2})}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Étape 5.9.1.4.2

Associez $21$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Étape 5.9.1.5

Multipliez les exposants dans ${({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.9.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{21 (\frac{1}{2})}}) + 3 C)$

Étape 5.9.1.5.2

Associez $21$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$

Étape 5.10

Divisez chaque terme dans $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.10.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Étape 5.10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.10.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Étape 5.10.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + C)}{3}$