Calcul infinitésimal Exemples

Factorisez ${\displaystyle y^2}$ à partir de ${\displaystyle \frac{x^2}{1-x}{y}^2}$.

Annulez le facteur commun.

Réécrivez l’expression.

Appliquez les règles de base des exposants.

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${\displaystyle y^{-2}}$ par rapport à ${\displaystyle y}$ est ${\displaystyle -y^{-1}}$.

Réécrivez ${\displaystyle -y^{-1}+C_1}$ comme ${\displaystyle -\frac{1}{y}+C_1}$.

Remettez dans l’ordre ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle -x}$.

Divisez ${\displaystyle x^2}$ par ${\displaystyle -x+1}$.

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

Comme ${\displaystyle -1}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, placez ${\displaystyle -1}$ en dehors de l’intégrale.

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${\displaystyle x}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2}$.

Appliquez la règle de la constante.

Associez ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et ${\displaystyle x^2}$.

Laissez ${\displaystyle u=-x+1}$. Alors ${\displaystyle du=-dx}$, donc ${\displaystyle -du=dx}$. Réécrivez avec ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle d}$${\displaystyle u}$.

Placez le signe moins devant la fraction.

Comme ${\displaystyle -1}$ est constant par rapport à ${\displaystyle u}$, placez ${\displaystyle -1}$ en dehors de l’intégrale.

L’intégrale de ${\displaystyle \frac{1}{u}}$ par rapport à ${\displaystyle u}$ est ${\displaystyle \ln \left(\left|u\right|\right)}$.

Simplifiez

Remplacez toutes les occurrences de ${\displaystyle u}$ par ${\displaystyle -x+1}$.

Associez ${\displaystyle x^2}$ et ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Pour écrire ${\displaystyle -\ln \left(|-x+1|\right)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Simplifiez les termes.

Simplifiez le numérateur.

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

Comme ${\displaystyle y,1,2,1}$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique ${\displaystyle 1,1,2,1}$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable ${\displaystyle y^1}$.

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

Le nombre ${\displaystyle 1}$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

${\displaystyle 2}$ n’a pas de facteur hormis ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 2}$.

Le nombre ${\displaystyle 1}$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Le plus petit multiple commun de ${\displaystyle 1,1,2,1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

Le facteur pour ${\displaystyle y^1}$ est ${\displaystyle y}$ lui-même.

Le plus petit multiple commun de ${\displaystyle y^1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

Le plus petit multiple commun pour ${\displaystyle y,1,2,1}$ est la partie numérique ${\displaystyle 2}$ multipliée par la partie variable.

Multipliez chaque terme dans ${\displaystyle -\frac{1}{y}=-x+\frac{-x^2-\ln \left({(-x+1)}^2\right)}{2}+C}$ par ${\displaystyle 2y}$.

Simplifiez le côté gauche.

Simplifiez le côté droit.

Réécrivez l’équation comme ${\displaystyle -2xy-x^{2}y-y\ln \left({(-x+1)}^2\right)+2Cy=-2}$.

Factorisez ${\displaystyle y}$ à partir de ${\displaystyle -2xy-x^{2}y-y\ln \left({(-x+1)}^2\right)+2Cy}$.

Réécrivez ${\displaystyle -1\ln \left({(-x+1)}^2\right)}$ comme ${\displaystyle -\ln \left({(-x+1)}^2\right)}$.

Divisez chaque terme dans ${\displaystyle y(-2x-x^2-\ln \left({(-x+1)}^2\right)+2C)=-2}$ par ${\displaystyle -2x-x^2-\ln \left({(-x+1)}^2\right)+2C}$ et simplifiez.