Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 10$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 5 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{3}{4}}$ par rapport à $x$ est $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 5 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $5 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ comme $5 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 5 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$y + C_{1} = 20 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $10$ dans $y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$ .

$10 = 20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 10$ .

$20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 10$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$20 \cdot 1 + K = 10$

Étape 4.2.2

Multipliez $20$ par $1$ .

$20 + K = 10$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$K = 10 - 20$

Étape 4.3.2

Soustrayez $20$ de $10$ .

$K = - 10$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 10$ dans $y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 10$ .

$y = 20 x^{\frac{1}{4}} - 10$