Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y = 5 e^{x}$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $(x - 3) y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 3$ et $g (x) = y$ .

$(x - 3) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$(x - 3) y' + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x - 3) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 3) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 3) y' + y (1 + 0)$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 3) y' + y \cdot 1$

Étape 1.7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.9

Multipliez $y$ par $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(x - 3) y] = 5 e^{x}$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 3) y] d x = \int 5 e^{x} d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$(x - 3) y = \int 5 e^{x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$(x - 3) y = 5 \int e^{x} d x$

Étape 5.2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$(x - 3) y = 5 (e^{x} + C)$

Étape 5.3

Simplifiez

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ par $x - 3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ par $x - 3$ .

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{5 e^{x} + C}{x - 3}$