Calcul infinitésimal Exemples

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$

Étape 1

Supposez que toutes les solutions sont de la forme $y = e^{r t}$ .

Étape 2

Déterminez l’équation caractéristique pour $3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

$\frac{d y}{d t} = r e^{r t}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Étape 2.3

Remplacez dans l’équation différentielle.

$3 (r^{2} e^{r t}) + 4 (r e^{r t}) - e^{r t} = 0$

Étape 2.4

Supprimez les parenthèses.

$3 r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Étape 2.5

Factorisez $e^{r t}$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $e^{r t}$ à partir de $3 r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Étape 2.5.2

Factorisez $e^{r t}$ à partir de $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r) - e^{r t} = 0$

Étape 2.5.3

Factorisez $e^{r t}$ à partir de $e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) - e^{r t} = 0$

Étape 2.5.4

Factorisez $e^{r t}$ à partir de $- e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1 = 0$

Étape 2.5.5

Factorisez $e^{r t}$ à partir de $e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r - 1) = 0$

Étape 2.6

Comme les exponentielles ne peuvent jamais être nulles, divisez les deux côtés par $e^{r t}$ .

$3 r^{2} + 4 r - 1 = 0$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = 4$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $16$ et $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Étape 3.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.1.3

Additionnez $16$ et $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 3.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Étape 3.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$r = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

Étape 3.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

Étape 3.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.3

Additionnez $16$ et $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$r = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.5.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

Étape 3.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (\sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

Étape 3.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Étape 4

Les deux valeurs déterminées de $r$ permettent de construire deux solutions.

$y_{1} = e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t}$

$y_{2} = e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Étape 5

D’après le principe de superposition, la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions pour une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

$y = c_{1} e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Associez $t$ et $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Étape 6.2

Associez $t$ et $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{t (2 + \sqrt{7})}{3}}$