Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x y^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{2}} (4 x y^{2})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

Étape 1.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (x y^{2})$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 x$

Étape 1.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = 4 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $\frac{1}{y^{2}}$ comme ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $y^{- 2} (y^{2} - 1)$ .

$\int y^{- 2} y^{2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $y^{- 2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{- 2 + 2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.3.1.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\int y^{0} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez $y^{0}$ .

$\int 1 + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.3.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $y^{- 2}$ .

$\int 1 - 1 \cdot y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.3.4

Réécrivez $- 1 y^{- 2}$ comme $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Étape 2.2.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int 4 x d x$

Étape 2.2.8

Simplifiez

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Étape 2.2.8.1

Simplifiez

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Étape 2.2.8.2

Simplifiez

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Étape 2.2.8.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Étape 2.2.8.2.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ comme $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, y, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ par $y$ .

$y \cdot y + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Étape 3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 1 = 2 x^{2} y + K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 x^{2} y + K y = y^{2} + 1$

Étape 3.3.2

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} = 1$

Étape 3.3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} - 1 = 0$

Étape 3.3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3.5

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 2 x^{2} + K$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (2 x^{2} + K) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6

Simplifiez

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Étape 3.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (2 x^{2}) - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.3

Réécrivez ${(2 x^{2} + K)}^{2}$ comme $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.4

Développez $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.6.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + K) + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.6.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.6.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.5.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.6.1.5.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.5.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.5.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K \cdot K - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.5.1.5

Multipliez $K$ par $K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.5.2

Additionnez $2 x^{2} K$ et $2 K x^{2}$ .

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Étape 3.3.6.1.5.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 K x^{2} + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.5.2.2

Additionnez $2 K x^{2}$ et $2 K x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.6

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.3.6.1.6.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.7

Réécrivez $4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4$ en forme factorisée.

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Étape 3.3.6.1.7.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.3.6.1.7.1.1

Réécrivez $4 x^{4}$ comme ${(2 x^{2})}^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.7.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 K x^{2} = 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K$

Étape 3.3.6.1.7.1.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.7.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 x^{2}$ et $b = K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.1.7.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x^{2} + K$ et $b = 2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$

Étape 3.3.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 x^{2} + K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Étape 3.3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$