Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = 5 t + \cos (t)$ , $s (0) = - 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = (5 t + \cos (t)) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int 5 t + \cos (t) d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int 5 t + \cos (t) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$s + C_{1} = \int 5 t d t + \int \cos (t) d t$

Étape 2.3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 5 \int t d t + \int \cos (t) d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$s + C_{1} = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

Étape 2.3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$s + C_{1} = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $0$ et $s$ par $- 2$ dans $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ .

$- 2 = \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = - 2$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = - 2$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0 + \sin (0) + K = - 2$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $0$ .

$0 + \sin (0) + K = - 2$

Étape 4.2.1.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 + 0 + K = - 2$

Étape 4.2.1.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + K$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + K = - 2$

Étape 4.2.1.2.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = - 2$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 2$ dans $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 2$ .

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) - 2$

Étape 5.2

Associez $\frac{5}{2}$ et $t^{2}$ .

$s = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t) - 2$