Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{- 2} y^{- 2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (x^{- 2} y^{- 2})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{- 2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $y^{- 2}$ à partir de $x^{- 2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} x^{- 2})$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} x^{- 2})$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = x^{- 2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Placez $y^{- 2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- x^{- 1} + C_{2}$ comme $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{1}{x} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $3 (- \frac{1}{x})$ .

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Étape 3.2.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3}{x} + 3 K$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

Étape 3.4.4

Associez $3$ et $\frac{- 1 + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 3.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 3.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 3.4.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 3.4.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 3.4.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Étape 3.4.7.5.5

Simplifiez

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Étape 3.4.8

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$