Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d v}{d t} = 16 t - \sec^{2} (t)$ , $v (π) = - 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d v = (16 t - \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d v = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$v + C_{1} = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.2

Comme $16$ est constant par rapport à $t$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.5

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (\tan (t) + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $16$ et $\frac{1}{2}$ .

$v + C_{1} = \frac{16}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$v + C_{1} = \frac{8}{1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$v + C_{1} = 8 t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $π$ et $v$ par $- 3$ dans $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ .

$- 3 = 8 π^{2} - \tan (π) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$ .

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $8 π^{2} - \tan (π) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$8 π^{2} - - \tan (0) + K = - 3$

Étape 4.2.1.1.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$8 π^{2} - - 0 + K = - 3$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez $- - 0$ .

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Étape 4.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$8 π^{2} - 0 + K = - 3$

Étape 4.2.1.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$8 π^{2} + 0 + K = - 3$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $8 π^{2}$ et $0$ .

$8 π^{2} + K = - 3$

Étape 4.3

Soustrayez $8 π^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 3 - 8 π^{2}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 3 - 8 π^{2}$ dans $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 3 - 8 π^{2}$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) - 3 - 8 π^{2}$