Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{8 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{8 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{8 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 8 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 1 + x^{3}$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 1 + x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 8 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 8 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 8 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 2.3.5

Associez les fractions.

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.5.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.5.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.7

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $\frac{8}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{8}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Associez $\frac{8}{3}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \frac{8 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$y + C_{1} = \frac{16}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{16}{3} {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{16}{3} {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$