Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} - 3 x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (e^{2 x} - 3 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int e^{2 x} - 3 x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 3 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int - 3 x d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int - 3 x d x$

Étape 2.3.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int - 3 x d x$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 3 x d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int - 3 x d x$

Étape 2.3.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) - 3 \int x d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

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Étape 2.3.8.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.8.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} - \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2} x^{2} + K$