Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y \frac{d y}{d x} - y^{2} + x^{2} = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x y \frac{d y}{d x} + x^{2} = y^{2}$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ par $2 x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ par $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x}{2 y}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} - \frac{x}{2 y}$

Étape 1.2

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y}{2 x}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x}{2 y}$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{x}{2 y}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation différentielle comme $f (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ dans $\frac{x}{2 y}$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ à partir de $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.3.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{x}{y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y})$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1})$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} V^{- 1}$

Étape 6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Étape 6.1.1.1.3

Multipliez $\frac{1}{V}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{V \cdot 2}$

Étape 6.1.1.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Pour écrire $- V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1.3.3.3.1

Associez $- V$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Factorisez $V$ à partir de $V - V \cdot 2$ .

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factorisez $V$ à partir de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factorisez $V$ à partir de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Factorisez $V$ à partir de $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}$ .

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Étape 6.1.1.3.3.4.1.1

Remettez dans l’ordre $- \frac{1}{2 V}$ et $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - \frac{1}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.2

Pour écrire $\frac{V}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.3

Multipliez $\frac{V}{2}$ par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V \cdot V}{2 V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V + 1}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.5

Multipliez $V$ par $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 1}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.6

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{x (2 V)}$

Étape 6.1.1.3.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 x V}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{2 V}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{V^{2} + 1} (- \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} (\frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2 V$ .

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Étape 6.1.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 V}{V^{2} + 1}$ dans le numérateur.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Étape 6.1.4.3.2

Factorisez $2 V$ à partir de $- 2 V$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Étape 6.1.4.3.3

Factorisez $2 V$ à partir de $2 V x$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V (x)}$

Étape 6.1.4.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V \cdot - 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Étape 6.1.4.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $V^{2} + 1$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Étape 6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $V$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Laissez $u = V^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 V d V$ , donc $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Laissez $u = V^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Différenciez $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Étape 6.2.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $V^{2} + 1$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$2 V + 0$

Étape 6.2.2.2.1.5

Additionnez $2 V$ et $0$ .

$2 V$

Étape 6.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Simplifiez

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Étape 6.2.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 | | x |) = C$

Étape 6.3.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (V^{2} + 1) x |) = C$

Étape 6.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| V^{2} x + 1 x |) = C$

Étape 6.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (| V^{2} x + x |) = C$

Étape 6.3.6

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| V^{2} x + x |)} = e^{C}$

Étape 6.3.7

Réécrivez $\ln (| V^{2} x + x |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | V^{2} x + x |$

Étape 6.3.8

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.8.1

Réécrivez l’équation comme $| V^{2} x + x | = e^{C}$ .

$| V^{2} x + x | = e^{C}$

Étape 6.3.8.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$V^{2} x + x = \pm e^{C}$

Étape 6.3.8.3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$V^{2} x = \pm e^{C} - x$

Étape 6.3.8.4

Divisez chaque terme dans $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.3.8.4.1

Divisez chaque terme dans $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ par $x$ .

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 6.3.8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.8.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.3.8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 6.3.8.4.2.1.2

Divisez $V^{2}$ par $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 6.3.8.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.8.4.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.3.8.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 6.3.8.4.3.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Étape 6.3.8.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Étape 6.3.8.6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

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Étape 6.3.8.6.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

Étape 6.3.8.6.2

Associez $- 1$ et $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}}$

Étape 6.3.8.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$

Étape 6.3.8.6.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$

Étape 6.3.8.6.5

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 6.3.8.6.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.8.6.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 6.3.8.6.6.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Étape 6.3.8.6.6.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Étape 6.3.8.6.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.8.6.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 6.3.8.6.6.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 6.3.8.6.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.8.6.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.8.6.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.8.6.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.8.6.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.8.6.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Étape 6.3.8.6.6.6.5

Simplifiez

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x}$

Étape 6.3.8.6.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$

Étape 6.3.8.6.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} - x)}}{x}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$