Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 6 - 2 \cos (3 x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (6 - 2 \cos (3 x)) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 6 - 2 \cos (3 x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 6 - 2 \cos (3 x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 6 d x + \int - 2 \cos (3 x) d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} + \int - 2 \cos (3 x) d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.3.4

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.3.4.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.3.4.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.5

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} + \frac{- 2}{3} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - \frac{2}{3} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - \frac{2}{3} (\sin (u) + C_{3})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

$y + C_{1} = 6 x - \frac{2}{3} \sin (u) + C_{4}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$y + C_{1} = 6 x - \frac{2}{3} \sin (3 x) + C_{4}$

Étape 2.3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \sin (3 x) + 6 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{2}{3} \sin (3 x) + 6 x + K$