Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 3 x^{2} e^{x^{2}}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2 x$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 x d x}$

Étape 1.2

Intégrez $- 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 \int x d x}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x^{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} (x^{2} e^{x^{2}})$

Étape 2.4

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $e^{x^{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $e^{x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 (e^{x^{2}} e^{- x^{2}}) x^{2}$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{x^{2} - x^{2}} x^{2}$

Étape 2.4.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{0} x^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez $3 e^{0} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$

Étape 2.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 3 x^{2}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 3 x^{2}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x^{2}} y = \int 3 x^{2} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} y = 3 \int x^{2} d x$

Étape 6.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 6.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 6.3.2

Simplifiez

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Étape 6.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 6.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{- x^{2}} y = 1 x^{3} + C$

Étape 6.3.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ par $e^{- x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ par $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x^{2}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$