Calcul infinitésimal Exemples

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Étape 2.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 (x + y)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2$ .

$0 = - 2$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$0 = - 2$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ .

$\frac{- 2 + 0}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $1$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $1$ .

$\frac{- 2 + 0}{1}$

Étape 4.3.2

Divisez $- 2 + 0$ par $1$ .

$- 2 + 0$

Étape 4.3.3

Remplacez $M$ par $1$ .

$- 2$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - 2 d y}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + C}$

Étape 5.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 y} + C$

Étape 6

Multipliez $1$ par $e^{- 2 y}$ .

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- 2 y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = e^{- 2 y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x + g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- 2 y} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{- 2 y} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - 2 y$ .

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Étape 11.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 y$ .

$x (e^{- 2 y} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x (e^{- 2 y} \cdot - 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.3.6

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 11.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x e^{- 2 y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Ajoutez $2 x e^{- 2 y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $- 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$ .

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Étape 12.1.2.1

Additionnez $- 2 x e^{- 2 y}$ et $2 x e^{- 2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y} + 0$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $- 2 y e^{- 2 y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 2 y e^{- 2 y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Étape 13.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 \int y e^{- 2 y} d y$

Étape 13.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{- 2 y}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Étape 13.5

Simplifiez

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Étape 13.5.1

Associez $e^{- 2 y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Étape 13.5.2

Associez $y$ et $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Étape 13.5.3

Associez $e^{- 2 y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Étape 13.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Étape 13.7

Simplifiez

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Étape 13.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Étape 13.7.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y$ par $1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Étape 13.8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 y} d y)$

Étape 13.9

Laissez $u = - 2 y$ . Alors $d u = - 2 d y$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.9.1

Laissez $u = - 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 13.9.1.1

Différenciez $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 13.9.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 13.9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 13.9.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 13.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Étape 13.10

Simplifiez

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Étape 13.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Étape 13.10.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 13.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Étape 13.12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Étape 13.13

Simplifiez

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Étape 13.13.1

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Étape 13.13.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Étape 13.13.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 13.14

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Étape 13.15

Réécrivez $- 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ comme $- 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 13.16

Simplifiez

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Étape 13.16.1

Associez $y$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y}{2} e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 13.16.2

Associez $e^{- 2 y}$ et $\frac{y}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 13.16.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Étape 13.17

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 y$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Étape 13.18

Simplifiez

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Étape 13.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Étape 13.18.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.18.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 2 y} y}{2}$ dans le numérateur.

$g (y) = - 2 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Étape 13.18.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (y) = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Étape 13.18.2.3

Annulez le facteur commun.

$g (y) = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Étape 13.18.2.4

Réécrivez l’expression.

$g (y) = - (- e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Étape 13.18.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = 1 (e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Étape 13.18.4

Multipliez $e^{- 2 y}$ par $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Étape 13.18.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.18.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 2 y}}{4}$ dans le numérateur.

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Étape 13.18.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Étape 13.18.5.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Étape 13.18.5.4

Annulez le facteur commun.

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Étape 13.18.5.5

Réécrivez l’expression.

$g (y) = e^{- 2 y} y - \frac{- e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 13.18.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.18.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (y) = e^{- 2 y} y - - \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 13.18.6.2

Multipliez $- - \frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

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Étape 13.18.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 1 \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 13.18.6.2.2

Multipliez $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ par $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 13.18.7

Associez $e^{- 2 y} y$ et $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 13.18.7.1

Remettez dans l’ordre $e^{- 2 y}$ et $y$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 13.18.7.2

Pour écrire $y e^{- 2 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 13.18.7.3

Associez $y e^{- 2 y}$ et $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 13.18.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 13.18.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.18.8.1

Factorisez $e^{- 2 y}$ à partir de $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

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Étape 13.18.8.1.1

Factorisez $e^{- 2 y}$ à partir de $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 13.18.8.1.2

Multipliez par $1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Étape 13.18.8.1.3

Factorisez $e^{- 2 y}$ à partir de $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Étape 13.18.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Étape 13.19

Remettez les termes dans l’ordre.

$g (y) = \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- 2 y}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y + 1) + C$

Étape 15.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y) + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Étape 15.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Étape 15.1.4

Multipliez $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 15.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 15.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 15.1.6

Associez $e^{- 2 y} y$ et $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 15.1.6.1

Remettez dans l’ordre $e^{- 2 y}$ et $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 15.1.6.2

Pour écrire $y e^{- 2 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 15.1.6.3

Associez $y e^{- 2 y}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 15.1.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 15.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.7.1

Factorisez $e^{- 2 y}$ à partir de $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

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Étape 15.1.7.1.1

Factorisez $e^{- 2 y}$ à partir de $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Étape 15.1.7.1.2

Multipliez par $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Étape 15.1.7.1.3

Factorisez $e^{- 2 y}$ à partir de $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Étape 15.1.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Étape 15.2

Pour écrire $e^{- 2 y} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Étape 15.3

Associez $e^{- 2 y} x$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Étape 15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Étape 15.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.5.1

Factorisez $e^{- 2 y}$ à partir de $e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

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Étape 15.5.1.1

Factorisez $e^{- 2 y}$ à partir de $e^{- 2 y} x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Étape 15.5.1.2

Factorisez $e^{- 2 y}$ à partir de $e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2 + 2 y + 1)}{2} + C$

Étape 15.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (2 x + 2 y + 1)}{2} + C$