Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y^{2} x}$

Étape 1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sqrt{x})$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \sqrt{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sqrt{x}))$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sqrt{x})$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \sqrt{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sqrt{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$| y | = e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$ comme $e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$