Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d v}{d t} = 9.8 - 0.196 v$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{9.8 - 0.196 v}$ .

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{9.8 - 0.196 v} (9.8 - 0.196 v)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $9.8 - 0.196 v$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{9.8 - 0.196 v} (9.8 - 0.196 v)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} \frac{d v}{d t} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} d v = 1 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{9.8 - 0.196 v} d v = \int d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 9.8 - 0.196 v$ . Alors $d u = - 0.196 d v$ , donc $\frac{1}{- 0.196} d u = d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 9.8 - 0.196 v$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $9.8 - 0.196 v$ .

$\frac{d}{d v} [9.8 - 0.196 v]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9.8 - 0.196 v$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [9.8] + \frac{d}{d v} [- 0.196 v]$ .

$\frac{d}{d v} [9.8] + \frac{d}{d v} [- 0.196 v]$

Étape 2.2.1.1.2.2

Comme $9.8$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $9.8$ par rapport à $v$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- 0.196 v]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d v} [- 0.196 v]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- 0.196$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 0.196 v$ par rapport à $v$ est $- 0.196 \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - 0.196 \frac{d}{d v} [v]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 0.196 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 0.196$ par $1$ .

$0 - 0.196$

Étape 2.2.1.1.4

Soustrayez $0.196$ de $0$ .

$- 0.196$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.196} d u = \int d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.196}) d u = \int d t$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{0.196}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.196} d u = \int d t$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $0.196$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{0.196 u} d u = \int d t$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{0.196 u} d u = \int d t$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{0.196}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.196}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{0.196} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.196} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Réécrivez $- \frac{1}{0.196} (\ln (| u |) + C_{1})$ comme $- 1 \cdot 5.10204081 \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 5.10204081 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $5.10204081$ .

$- 5.10204081 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9.8 - 0.196 v$ .

$- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) + C_{1} = t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) = t + C$

Étape 3

Résolvez $v$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) = t + C$ par $- 5.10204081$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) = t + C$ par $- 5.10204081$ .

$\frac{- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |)}{- 5.10204081} = \frac{t}{- 5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5.10204081$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |)}{- 5.10204081} = \frac{t}{- 5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\ln (| 9.8 - 0.196 v |)$ par $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = \frac{t}{- 5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - \frac{t}{5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez par $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - \frac{1 t}{5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Étape 3.1.3.1.3

Factorisez $5.10204081$ à partir de $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - \frac{1 t}{5.10204081 (1)} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Étape 3.1.3.1.4

Séparez les fractions.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - (\frac{1}{5.10204081} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 5.10204081}$

Étape 3.1.3.1.5

Divisez $1$ par $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - (0.196 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 5.10204081}$

Étape 3.1.3.1.6

Divisez $t$ par $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - (0.196 t) + \frac{C}{- 5.10204081}$

Étape 3.1.3.1.7

Multipliez $0.196$ par $- 1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t + \frac{C}{- 5.10204081}$

Étape 3.1.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - \frac{C}{5.10204081}$

Étape 3.1.3.1.9

Multipliez par $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - \frac{1 C}{5.10204081}$

Étape 3.1.3.1.10

Factorisez $5.10204081$ à partir de $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - \frac{1 C}{5.10204081 (1)}$

Étape 3.1.3.1.11

Séparez les fractions.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - (\frac{1}{5.10204081} \cdot \frac{C}{1})$

Étape 3.1.3.1.12

Divisez $1$ par $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - (0.196 \frac{C}{1})$

Étape 3.1.3.1.13

Divisez $C$ par $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - (0.196 C)$

Étape 3.1.3.1.14

Multipliez $0.196$ par $- 1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - 0.196 C$

Étape 3.2

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 9.8 - 0.196 v |)} = e^{- 0.196 t - 0.196 C}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - 0.196 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.196 t - 0.196 C} = | 9.8 - 0.196 v |$

Étape 3.4

Résolvez $v$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 9.8 - 0.196 v | = e^{- 0.196 t - 0.196 C}$ .

$| 9.8 - 0.196 v | = e^{- 0.196 t - 0.196 C}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$9.8 - 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $9.8$ des deux côtés de l’équation.

$- 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C} - 9.8$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $- 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C} - 9.8$ par $- 0.196$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C} - 9.8$ par $- 0.196$ .

$\frac{- 0.196 v}{- 0.196} = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.196$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.196 v}{- 0.196} = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Étape 3.4.4.3.1.2

Multipliez par $1$ .

$v = \frac{1 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C})}{0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Étape 3.4.4.3.1.3

Factorisez $0.196$ à partir de $0.196$ .

$v = \frac{1 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C})}{0.196 (1)} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Étape 3.4.4.3.1.4

Séparez les fractions.

$v = \frac{1}{0.196} \cdot \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{1} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Étape 3.4.4.3.1.5

Divisez $1$ par $0.196$ .

$v = 5.10204081 \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{1} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Étape 3.4.4.3.1.6

Divisez $\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}$ par $1$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}) + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Étape 3.4.4.3.1.7

Divisez $- 9.8$ par $- 0.196$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}) + 50$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t + C}) + 50$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{- 0.196 t + C}$ comme $e^{- 0.196 t} e^{C}$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t} e^{C}) + 50$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- 0.196 t}$ et $e^{C}$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{C} e^{- 0.196 t}) + 50$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = 5.10204081 (C e^{- 0.196 t}) + 50$