Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d G}{d t} = \frac{1}{50} (180 - G)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{180 - G}$ .

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{180 - G} (\frac{1}{50} (180 - G))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{180 - G} (180 - G)$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{1}{50}$ par $\frac{1}{180 - G}$ .

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{50 (180 - G)} (180 - G)$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $180 - G$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $180 - G$ à partir de $50 (180 - G)$ .

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{(180 - G) \cdot 50} (180 - G)$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{(180 - G) \cdot 50} (180 - G)$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{50}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{180 - G} d G = \frac{1}{50} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{180 - G} d G = \int \frac{1}{50} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 180 - G$ . Alors $d u = - d G$ , donc $- d u = d G$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 180 - G$ . Déterminez $\frac{d u}{d G}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{50} d t$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{50} d t$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{50} d t$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{50} d t$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{50} d t$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $180 - G$ .

$- \ln (| 180 - G |) + C_{1} = \int \frac{1}{50} d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \ln (| 180 - G |) + C_{1} = \frac{1}{50} t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 180 - G |) = \frac{1}{50} t + C$

Étape 3

Résolvez $G$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 180 - G |) = \frac{1}{50} t + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 180 - G |) = \frac{1}{50} t + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 180 - G |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{50} t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| 180 - G |)}{1} = \frac{\frac{1}{50} t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\ln (| 180 - G |)$ par $1$ .

$\ln (| 180 - G |) = \frac{\frac{1}{50} t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{50} t}{- 1}$ .

$\ln (| 180 - G |) = - 1 \cdot (\frac{1}{50} t) + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\frac{1}{50} t)$ comme $- (\frac{1}{50} t)$ .

$\ln (| 180 - G |) = - (\frac{1}{50} t) + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Associez $\frac{1}{50}$ et $t$ .

$\ln (| 180 - G |) = - \frac{t}{50} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 180 - G |) = - \frac{t}{50} - 1 \cdot C$

Étape 3.1.3.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| 180 - G |) = - \frac{t}{50} - C$

Étape 3.2

Pour résoudre $G$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 180 - G |)} = e^{- \frac{t}{50} - C}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 180 - G |) = - \frac{t}{50} - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{50} - C} = | 180 - G |$

Étape 3.4

Résolvez $G$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 180 - G | = e^{- \frac{t}{50} - C}$ .

$| 180 - G | = e^{- \frac{t}{50} - C}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$180 - G = \pm e^{- \frac{t}{50} - C}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $180$ des deux côtés de l’équation.

$- G = \pm e^{- \frac{t}{50} - C} - 180$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $- G = \pm e^{- \frac{t}{50} - C} - 180$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- G = \pm e^{- \frac{t}{50} - C} - 180$ par $- 1$ .

$\frac{- G}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{50} - C}}{- 1} + \frac{- 180}{- 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{G}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{50} - C}}{- 1} + \frac{- 180}{- 1}$

Étape 3.4.4.2.2

Divisez $G$ par $1$ .

$G = \frac{\pm e^{- \frac{t}{50} - C}}{- 1} + \frac{- 180}{- 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm e^{- \frac{t}{50} - C}}{- 1}$ .

$G = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{t}{50} - C}) + \frac{- 180}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{t}{50} - C})$ comme $- (\pm e^{- \frac{t}{50} - C})$ .

$G = - (\pm e^{- \frac{t}{50} - C}) + \frac{- 180}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.1.3

Divisez $- 180$ par $- 1$ .

$G = - (\pm e^{- \frac{t}{50} - C}) + 180$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$G = - (\pm e^{- \frac{t}{50} + C}) + 180$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{- \frac{t}{50} + C}$ comme $e^{- \frac{t}{50}} e^{C}$ .

$G = - (\pm e^{- \frac{t}{50}} e^{C}) + 180$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{t}{50}}$ et $e^{C}$ .

$G = - (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{50}}) + 180$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$G = - (C e^{- \frac{t}{50}}) + 180$