Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$ ; with $y (0) = 2$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y + 2$ .

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $2$ dans $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - \cos (0) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

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Étape 4.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.1.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 + K = 2 + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 1 + K = 2 + 4$

Étape 4.3.1.2

Additionnez $2$ et $4$ .

$- 1 + K = 6$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 6 + 1$

Étape 4.4.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$K = 7$

Étape 5

Remplacez $K$ par $7$ dans $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $7$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$