Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d p}{d t} = \frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100}}$ .

$\frac{1}{\frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100}} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{\frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100}} (\frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100}} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{\frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100}} (\frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100})$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100}} \frac{d p}{d t} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100}} d p = 1 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\frac{p}{3} - \frac{p^{2}}{2100}} d p = \int d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1.1.1

Pour écrire $\frac{p}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{700}{700}$ .

$\int \frac{1}{\frac{p}{3} \cdot \frac{700}{700} - \frac{p^{2}}{2100}} d p = \int d t$

Étape 2.2.1.1.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2100$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Multipliez $\frac{p}{3}$ par $\frac{700}{700}$ .

$\int \frac{1}{\frac{p \cdot 700}{3 \cdot 700} - \frac{p^{2}}{2100}} d p = \int d t$

Étape 2.2.1.1.2.2

Multipliez $3$ par $700$ .

$\int \frac{1}{\frac{p \cdot 700}{2100} - \frac{p^{2}}{2100}} d p = \int d t$

Étape 2.2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{\frac{p \cdot 700 - p^{2}}{2100}} d p = \int d t$

Étape 2.2.1.1.4

Factorisez $p$ à partir de $p \cdot 700 - p^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.4.1

Factorisez $p$ à partir de $p \cdot 700$ .

$\int \frac{1}{\frac{p (700) - p^{2}}{2100}} d p = \int d t$

Étape 2.2.1.1.4.2

Factorisez $p$ à partir de $- p^{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{p (700) + p (- p)}{2100}} d p = \int d t$

Étape 2.2.1.1.4.3

Factorisez $p$ à partir de $p (700) + p (- p)$ .

$\int \frac{1}{\frac{p (700 - p)}{2100}} d p = \int d t$

Étape 2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\int 1 \frac{2100}{p (700 - p)} d p = \int d t$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\frac{2100}{p (700 - p)}$ par $1$ .

$\int \frac{2100}{p (700 - p)} d p = \int d t$

Étape 2.2.2

Comme $2100$ est constant par rapport à $p$ , placez $2100$ en dehors de l’intégrale.

$2100 \int \frac{1}{p (700 - p)} d p = \int d t$

Étape 2.2.3

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.2.3.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.2.3.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{p} + \frac{B}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $p (700 - p)$ .

$\frac{1 (p (700 - p))}{p (700 - p)} = \frac{A (p (700 - p))}{p} + \frac{(B) (p (700 - p))}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $p$ .

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Étape 2.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (p (700 - p))}{p (700 - p)} = \frac{A (p (700 - p))}{p} + \frac{(B) (p (700 - p))}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (700 - p)}{700 - p} = \frac{A (p (700 - p))}{p} + \frac{(B) (p (700 - p))}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $700 - p$ .

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Étape 2.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (700 - p)}{700 - p} = \frac{A (p (700 - p))}{p} + \frac{(B) (p (700 - p))}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (p (700 - p))}{p} + \frac{(B) (p (700 - p))}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.5.1

Annulez le facteur commun de $p$ .

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Étape 2.2.3.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (p (700 - p))}{p} + \frac{(B) (p (700 - p))}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.5.1.2

Divisez $A (700 - p)$ par $1$ .

$1 = A (700 - p) + \frac{(B) (p (700 - p))}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A \cdot 700 + A (- p) + \frac{(B) (p (700 - p))}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.5.3

Déplacez $700$ à gauche de $A$ .

$1 = 700 \cdot A + A (- p) + \frac{(B) (p (700 - p))}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 700 \cdot A - A p + \frac{(B) (p (700 - p))}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.5.5

Annulez le facteur commun de $700 - p$ .

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Étape 2.2.3.1.5.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = 700 A - A p + \frac{B (p (700 - p))}{700 - p}$

Étape 2.2.3.1.5.5.2

Divisez $(B) (p)$ par $1$ .

$1 = 700 A - A p + (B) (p)$

$1 = 700 A - A p + B p$

Étape 2.2.3.1.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1.6.1

Déplacez $A$ .

$1 = 700 A - p A + B p$

Étape 2.2.3.1.6.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $p$ .

$1 = 700 A - p A + B p$

Étape 2.2.3.1.6.3

Déplacez $700 A$ .

$1 = - p A + B p + 700 A$

Étape 2.2.3.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.2.3.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $p$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.2.3.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $p$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 700 A$

Étape 2.2.3.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 700 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 700 A$

Étape 2.2.3.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.2.3.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = 700 A$ .

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Étape 2.2.3.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $700 A = 1$ .

$700 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.2.3.3.1.2

Divisez chaque terme dans $700 A = 1$ par $700$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $700 A = 1$ par $700$ .

$\frac{700 A}{700} = \frac{1}{700}$

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.2.3.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $700$ .

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Étape 2.2.3.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{700 A}{700} = \frac{1}{700}$

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.2.3.3.1.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{700}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{700}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{700}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{700}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{700}$

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.2.3.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $\frac{1}{700}$ dans chaque équation.

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Étape 2.2.3.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = - 1 A + B$ par $\frac{1}{700}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{700}) + B$

$A = \frac{1}{700}$

Étape 2.2.3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.3.2.2.1

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{700})$ comme $- (\frac{1}{700})$ .

$0 = - \frac{1}{700} + B$

$A = \frac{1}{700}$

$0 = - \frac{1}{700} + B$

$A = \frac{1}{700}$

$0 = - \frac{1}{700} + B$

$A = \frac{1}{700}$

Étape 2.2.3.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - \frac{1}{700} + B$ .

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Étape 2.2.3.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{700} + B = 0$ .

$- \frac{1}{700} + B = 0$

$A = \frac{1}{700}$

Étape 2.2.3.3.3.2

Ajoutez $\frac{1}{700}$ aux deux côtés de l’équation.

$B = \frac{1}{700}$

$A = \frac{1}{700}$

$B = \frac{1}{700}$

$A = \frac{1}{700}$

Étape 2.2.3.3.4

Résolvez le système d’équations.

$B = \frac{1}{700} A = \frac{1}{700}$

Étape 2.2.3.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = \frac{1}{700}, A = \frac{1}{700}$

Étape 2.2.3.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{p} + \frac{B}{700 - p}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{1}{700}}{p} + \frac{\frac{1}{700}}{700 - p}$

Étape 2.2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.2.3.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{700} \cdot \frac{1}{p} + \frac{\frac{1}{700}}{700 - p}$

Étape 2.2.3.5.2

Multipliez $\frac{1}{700}$ par $\frac{1}{p}$ .

$\frac{1}{700 p} + \frac{\frac{1}{700}}{700 - p}$

Étape 2.2.3.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{700 p} + \frac{1}{700} \cdot \frac{1}{700 - p}$

Étape 2.2.3.5.4

Multipliez $\frac{1}{700}$ par $\frac{1}{700 - p}$ .

$2100 \int \frac{1}{700 p} + \frac{1}{700 (700 - p)} d p = \int d t$

Étape 2.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2100 (\int \frac{1}{700 p} d p + \int \frac{1}{700 (700 - p)} d p) = \int d t$

Étape 2.2.5

Comme $\frac{1}{700}$ est constant par rapport à $p$ , placez $\frac{1}{700}$ en dehors de l’intégrale.

$2100 (\frac{1}{700} \int \frac{1}{p} d p + \int \frac{1}{700 (700 - p)} d p) = \int d t$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{p}$ par rapport à $p$ est $\ln (| p |)$ .

$2100 (\frac{1}{700} (\ln (| p |) + C_{1}) + \int \frac{1}{700 (700 - p)} d p) = \int d t$

Étape 2.2.7

Comme $\frac{1}{700}$ est constant par rapport à $p$ , placez $\frac{1}{700}$ en dehors de l’intégrale.

$2100 (\frac{1}{700} (\ln (| p |) + C_{1}) + \frac{1}{700} \int \frac{1}{700 - p} d p) = \int d t$

Étape 2.2.8

Laissez $u = 700 - p$ . Alors $d u = - d p$ , donc $- d u = d p$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.8.1

Laissez $u = 700 - p$ . Déterminez $\frac{d u}{d p}$ .

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Étape 2.2.8.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.8.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2100 (\frac{1}{700} (\ln (| p |) + C_{1}) + \frac{1}{700} \int \frac{- 1}{u} d u) = \int d t$

Étape 2.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$2100 (\frac{1}{700} (\ln (| p |) + C_{1}) + \frac{1}{700} \int - \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Étape 2.2.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2100 (\frac{1}{700} (\ln (| p |) + C_{1}) + \frac{1}{700} (- \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Étape 2.2.11

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$2100 (\frac{1}{700} (\ln (| p |) + C_{1}) + \frac{1}{700} (- (\ln (| u |) + C_{2}))) = \int d t$

Étape 2.2.12

Simplifiez

$2100 (\frac{\ln (| p |)}{700} - \frac{\ln (| u |)}{700}) + C_{3} = \int d t$

Étape 2.2.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $700 - p$ .

$2100 (\frac{\ln (| p |)}{700} - \frac{\ln (| 700 - p |)}{700}) + C_{3} = \int d t$

Étape 2.2.14

Simplifiez

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Étape 2.2.14.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2100 \frac{\ln (| p |) - \ln (| 700 - p |)}{700} + C_{3} = \int d t$

Étape 2.2.14.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2100 \frac{\ln (\frac{| p |}{| 700 - p |})}{700} + C_{3} = \int d t$

Étape 2.2.14.3

Annulez le facteur commun de $700$ .

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Étape 2.2.14.3.1

Factorisez $700$ à partir de $2100$ .

$700 (3) \frac{\ln (\frac{| p |}{| 700 - p |})}{700} + C_{3} = \int d t$

Étape 2.2.14.3.2

Annulez le facteur commun.

$700 \cdot 3 \frac{\ln (\frac{| p |}{| 700 - p |})}{700} + C_{3} = \int d t$

Étape 2.2.14.3.3

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (\frac{| p |}{| 700 - p |}) + C_{3} = \int d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$3 \ln (\frac{| p |}{| 700 - p |}) + C_{3} = t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$3 \ln (\frac{| p |}{| 700 - p |}) = t + C$

Étape 3

Résolvez $p$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 \ln (\frac{| p |}{| 700 - p |}) = t + C$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 \ln (\frac{| p |}{| 700 - p |}) = t + C$ par $3$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| p |}{| 700 - p |})}{3} = \frac{t}{3} + \frac{C}{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \ln (\frac{| p |}{| 700 - p |})}{3} = \frac{t}{3} + \frac{C}{3}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\ln (\frac{| p |}{| 700 - p |})$ par $1$ .

$\ln (\frac{| p |}{| 700 - p |}) = \frac{t}{3} + \frac{C}{3}$

Étape 3.2

Pour résoudre $p$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| p |}{| 700 - p |})} = e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (\frac{| p |}{| 700 - p |}) = \frac{t}{3} + \frac{C}{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}} = \frac{| p |}{| 700 - p |}$

Étape 3.4

Résolvez $p$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| p |}{| 700 - p |} = e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}}$ .

$\frac{| p |}{| 700 - p |} = e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}}$

Étape 3.4.2

Multipliez les deux côtés par $| 700 - p |$ .

$\frac{| p |}{| 700 - p |} | 700 - p | = e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}} | 700 - p |$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.1

Annulez le facteur commun de $| 700 - p |$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| p |}{| 700 - p |} | 700 - p | = e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}} | 700 - p |$

Étape 3.4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| p | = e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}} | 700 - p |$

Étape 3.4.4

Résolvez $p$ .

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez l’équation comme $e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}} | 700 - p | = | p |$ .

$e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}} | 700 - p | = | p |$

Étape 3.4.4.2

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}} | 700 - p | = | p |$ par $e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}}$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}} | 700 - p | = | p |$ par $e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}} | 700 - p |}{e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}}} = \frac{| p |}{e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}}}$

Étape 3.4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}}$ .

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Étape 3.4.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}} | 700 - p |}{e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}}} = \frac{| p |}{e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}}}$

Étape 3.4.4.2.2.1.2

Divisez $| 700 - p |$ par $1$ .

$| 700 - p | = \frac{| p |}{e^{\frac{t}{3} + \frac{C}{3}}}$

Étape 3.4.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| 700 - p | = \frac{| p |}{e^{\frac{t + C}{3}}}$

Étape 3.4.4.3

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$700 - p = \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}}$

$700 - p = - \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}}$

$- (700 - p) = \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}}$

$- (700 - p) = - \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}}$

Étape 3.4.4.4

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$700 - p = \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}}$

$700 - p = - \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}}$

Étape 3.4.4.5

Résolvez $700 - p = \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}}$ pour $p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1

Multipliez les deux côtés par $e^{\frac{t + C}{3}}$ .

$(700 - p) e^{\frac{t + C}{3}} = \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.2.1.1

Simplifiez $(700 - p) e^{\frac{t + C}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$700 e^{\frac{t + C}{3}} - p e^{\frac{t + C}{3}} = \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.5.2.1.1.2

Simplifiez en utilisant la commutativité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.2.1.1.2.1

Remettez dans l’ordre $t$ et $C$ .

$700 e^{\frac{C + t}{3}} - p e^{\frac{t + C}{3}} = \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.5.2.1.1.2.2

Remettez dans l’ordre $t$ et $C$ .

$700 e^{\frac{C + t}{3}} - p e^{\frac{C + t}{3}} = \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.5.2.1.1.2.3

Remettez dans l’ordre $700 e^{\frac{C + t}{3}}$ et $- p e^{\frac{C + t}{3}}$ .

$- p e^{\frac{C + t}{3}} + 700 e^{\frac{C + t}{3}} = \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{t + C}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$- p e^{\frac{C + t}{3}} + 700 e^{\frac{C + t}{3}} = \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$- p e^{\frac{C + t}{3}} + 700 e^{\frac{C + t}{3}} = p$

Étape 3.4.4.5.3

Résolvez $p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.3.1

Soustrayez $p$ des deux côtés de l’équation.

$- p e^{\frac{C + t}{3}} + 700 e^{\frac{C + t}{3}} - p = 0$

Étape 3.4.4.5.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $p$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.3.2.1

Soustrayez $700 e^{\frac{C + t}{3}}$ des deux côtés de l’équation.

$- p e^{\frac{C + t}{3}} - p = - 700 e^{\frac{C + t}{3}}$

Étape 3.4.4.5.3.2.2

Divisez la fraction $\frac{C + t}{3}$ en deux fractions.

$- p e^{\frac{C + t}{3}} - p = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$

Étape 3.4.4.5.3.3

Factorisez $p$ à partir de $- p e^{\frac{C + t}{3}} - p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.3.3.1

Factorisez $p$ à partir de $- p e^{\frac{C + t}{3}}$ .

$p (- 1 e^{\frac{C + t}{3}}) - p = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$

Étape 3.4.4.5.3.3.2

Factorisez $p$ à partir de $- p$ .

$p (- 1 e^{\frac{C + t}{3}}) + p \cdot - 1 = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$

Étape 3.4.4.5.3.3.3

Factorisez $p$ à partir de $p (- 1 e^{\frac{C + t}{3}}) + p \cdot - 1$ .

$p (- 1 e^{\frac{C + t}{3}} - 1) = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$

Étape 3.4.4.5.3.4

Réécrivez $- 1 e^{\frac{C + t}{3}}$ comme $- e^{\frac{C + t}{3}}$ .

$p (- e^{\frac{C + t}{3}} - 1) = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$

Étape 3.4.4.5.3.5

Divisez chaque terme dans $p (- e^{\frac{C + t}{3}} - 1) = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$ par $- e^{\frac{C + t}{3}} - 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.3.5.1

Divisez chaque terme dans $p (- e^{\frac{C + t}{3}} - 1) = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$ par $- e^{\frac{C + t}{3}} - 1$ .

$\frac{p (- e^{\frac{C + t}{3}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{3}} - 1} = \frac{- 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} - 1}$

Étape 3.4.4.5.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- e^{\frac{C + t}{3}} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p (- e^{\frac{C + t}{3}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{3}} - 1} = \frac{- 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} - 1}$

Étape 3.4.4.5.3.5.2.1.2

Divisez $p$ par $1$ .

$p = \frac{- 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} - 1}$

Étape 3.4.4.5.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.3.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p = \frac{- 700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} - 1}$

Étape 3.4.4.5.3.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$p = - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} - 1}$

Étape 3.4.4.5.3.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{\frac{C + t}{3}}$ .

$p = - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} - 1}$

Étape 3.4.4.5.3.5.3.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$p = - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} - 1 (1)}$

Étape 3.4.4.5.3.5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{\frac{C + t}{3}} - 1 (1)$ .

$p = - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- (e^{\frac{C + t}{3}} + 1)}$

Étape 3.4.4.5.3.5.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.3.5.3.6.1

Réécrivez $- (e^{\frac{C + t}{3}} + 1)$ comme $- 1 (e^{\frac{C + t}{3}} + 1)$ .

$p = - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{3}} + 1)}$

Étape 3.4.4.5.3.5.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$p = - - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{e^{\frac{C + t}{3}} + 1}$

Étape 3.4.4.5.3.5.3.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p = 1 \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{e^{\frac{C + t}{3}} + 1}$

Étape 3.4.4.5.3.5.3.6.4

Multipliez $\frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{e^{\frac{C + t}{3}} + 1}$ par $1$ .

$p = \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{e^{\frac{C + t}{3}} + 1}$

Étape 3.4.4.6

Résolvez $700 - p = - \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}}$ pour $p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.1

Multipliez les deux côtés par $e^{\frac{t + C}{3}}$ .

$(700 - p) e^{\frac{t + C}{3}} = - \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.2.1.1

Simplifiez $(700 - p) e^{\frac{t + C}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$700 e^{\frac{t + C}{3}} - p e^{\frac{t + C}{3}} = - \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.6.2.1.1.2

Simplifiez en utilisant la commutativité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.2.1.1.2.1

Remettez dans l’ordre $t$ et $C$ .

$700 e^{\frac{C + t}{3}} - p e^{\frac{t + C}{3}} = - \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.6.2.1.1.2.2

Remettez dans l’ordre $t$ et $C$ .

$700 e^{\frac{C + t}{3}} - p e^{\frac{C + t}{3}} = - \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.6.2.1.1.2.3

Remettez dans l’ordre $700 e^{\frac{C + t}{3}}$ et $- p e^{\frac{C + t}{3}}$ .

$- p e^{\frac{C + t}{3}} + 700 e^{\frac{C + t}{3}} = - \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{t + C}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{p}{e^{\frac{t + C}{3}}}$ dans le numérateur.

$- p e^{\frac{C + t}{3}} + 700 e^{\frac{C + t}{3}} = \frac{- p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$- p e^{\frac{C + t}{3}} + 700 e^{\frac{C + t}{3}} = \frac{- p}{e^{\frac{t + C}{3}}} e^{\frac{t + C}{3}}$

Étape 3.4.4.6.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- p e^{\frac{C + t}{3}} + 700 e^{\frac{C + t}{3}} = - p$

Étape 3.4.4.6.3

Résolvez $p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.3.1

Ajoutez $p$ aux deux côtés de l’équation.

$- p e^{\frac{C + t}{3}} + 700 e^{\frac{C + t}{3}} + p = 0$

Étape 3.4.4.6.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $p$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.3.2.1

Soustrayez $700 e^{\frac{C + t}{3}}$ des deux côtés de l’équation.

$- p e^{\frac{C + t}{3}} + p = - 700 e^{\frac{C + t}{3}}$

Étape 3.4.4.6.3.2.2

Divisez la fraction $\frac{C + t}{3}$ en deux fractions.

$- p e^{\frac{C + t}{3}} + p = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$

Étape 3.4.4.6.3.3

Factorisez $p$ à partir de $- p e^{\frac{C + t}{3}} + p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.3.3.1

Factorisez $p$ à partir de $- p e^{\frac{C + t}{3}}$ .

$p (- 1 e^{\frac{C + t}{3}}) + p = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$

Étape 3.4.4.6.3.3.2

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$p (- 1 e^{\frac{C + t}{3}}) + p = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$

Étape 3.4.4.6.3.3.3

Factorisez $p$ à partir de $p^{1}$ .

$p (- 1 e^{\frac{C + t}{3}}) + p \cdot 1 = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$

Étape 3.4.4.6.3.3.4

Factorisez $p$ à partir de $p (- 1 e^{\frac{C + t}{3}}) + p \cdot 1$ .

$p (- 1 e^{\frac{C + t}{3}} + 1) = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$

Étape 3.4.4.6.3.4

Réécrivez $- 1 e^{\frac{C + t}{3}}$ comme $- e^{\frac{C + t}{3}}$ .

$p (- e^{\frac{C + t}{3}} + 1) = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$

Étape 3.4.4.6.3.5

Divisez chaque terme dans $p (- e^{\frac{C + t}{3}} + 1) = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$ par $- e^{\frac{C + t}{3}} + 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.3.5.1

Divisez chaque terme dans $p (- e^{\frac{C + t}{3}} + 1) = - 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}$ par $- e^{\frac{C + t}{3}} + 1$ .

$\frac{p (- e^{\frac{C + t}{3}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{3}} + 1} = \frac{- 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} + 1}$

Étape 3.4.4.6.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- e^{\frac{C + t}{3}} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p (- e^{\frac{C + t}{3}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{3}} + 1} = \frac{- 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} + 1}$

Étape 3.4.4.6.3.5.2.1.2

Divisez $p$ par $1$ .

$p = \frac{- 700 e^{\frac{C}{3} + \frac{t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} + 1}$

Étape 3.4.4.6.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.3.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p = \frac{- 700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} + 1}$

Étape 3.4.4.6.3.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$p = - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} + 1}$

Étape 3.4.4.6.3.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{\frac{C + t}{3}}$ .

$p = - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} + 1}$

Étape 3.4.4.6.3.5.3.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$p = - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- e^{\frac{C + t}{3}} - 1 (- 1)}$

Étape 3.4.4.6.3.5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{\frac{C + t}{3}} - 1 (- 1)$ .

$p = - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- (e^{\frac{C + t}{3}} - 1)}$

Étape 3.4.4.6.3.5.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.3.5.3.6.1

Réécrivez $- (e^{\frac{C + t}{3}} - 1)$ comme $- 1 (e^{\frac{C + t}{3}} - 1)$ .

$p = - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{3}} - 1)}$

Étape 3.4.4.6.3.5.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$p = - - \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{e^{\frac{C + t}{3}} - 1}$

Étape 3.4.4.6.3.5.3.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p = 1 \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{e^{\frac{C + t}{3}} - 1}$

Étape 3.4.4.6.3.5.3.6.4

Multipliez $\frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{e^{\frac{C + t}{3}} - 1}$ par $1$ .

$p = \frac{700 e^{\frac{C + t}{3}}}{e^{\frac{C + t}{3}} - 1}$

Étape 3.4.4.7