Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x^{2} y^{6}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de Bernoulli.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x^{2} y^{6}$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$

Étape 2

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{6}$ .

$v = y^{- 5}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{5}}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{5}}$

Étape 5

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{5}}$ par rapport à $x$ .

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Étape 5.1

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{5}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{5}}]$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{5}}}]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v^{\frac{1}{5}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{1}{5} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.4.1

Multipliez $v^{\frac{1}{5}}$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.4.4.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ et $g (x) = v$ .

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Étape 5.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.9.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.11

Associez $\frac{1}{5}$ et $v^{- \frac{4}{5}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.12

Placez $v^{- \frac{4}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.13

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} v'}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.14

Associez $\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ et $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.15

Réécrivez $\frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$ comme un produit.

$y' = - (\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{5}}})$

Étape 5.16

Multipliez $\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ par $\frac{1}{v^{\frac{2}{5}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}} v^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.17

Multipliez $v^{\frac{4}{5}}$ par $v^{\frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.17.1

Déplacez $v^{\frac{2}{5}}$ .

$y' = - \frac{v'}{5 (v^{\frac{2}{5}} v^{\frac{4}{5}})}$

Étape 5.17.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}}}$

Étape 5.17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2 + 4}{5}}}$

Étape 5.17.4

Additionnez $2$ et $4$ .

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$

Étape 6

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ et $y$ par $v^{- \frac{1}{5}}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$ .

$- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$

Étape 7

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 7.1.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ par $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 7.1.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ par $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5 v^{\frac{6}{5}}$ .

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Étape 7.1.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.2

Factorisez $5 v^{\frac{6}{5}}$ à partir de $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} v^{\frac{6}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5

Multipliez $v^{- \frac{1}{5}}$ par $v^{\frac{6}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1.2.1.5.1

Déplacez $v^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{1}{5}}) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6}{5} - \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6 - 1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5.4

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{5}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5.5

Divisez $5$ par $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.6

Simplifiez $- 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.8

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.10

Associez $v$ et $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 5}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.2.1.11

Déplacez $5$ à gauche de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Étape 7.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 1 \cdot 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

Étape 7.1.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

Étape 7.1.1.3.3

Multipliez les exposants dans ${(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ .

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Étape 7.1.1.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{1}{5} \cdot 6} v^{\frac{6}{5}}$

Étape 7.1.1.3.3.2

Multipliez $- \frac{1}{5} \cdot 6$ .

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Étape 7.1.1.3.3.2.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- 6 (\frac{1}{5})} v^{\frac{6}{5}}$

Étape 7.1.1.3.3.2.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{- 6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

Étape 7.1.1.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

Étape 7.1.1.3.4

Multipliez $v^{- \frac{6}{5}}$ par $v^{\frac{6}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1.3.4.1

Déplacez $v^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{6}{5}})$

Étape 7.1.1.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6}{5} - \frac{6}{5}}$

Étape 7.1.1.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6 - 6}{5}}$

Étape 7.1.1.3.4.4

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{0}{5}}$

Étape 7.1.1.3.4.5

Divisez $0$ par $5$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{0}$

Étape 7.1.1.3.5

Simplifiez $- 5 x^{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2}$

Étape 7.1.2

Factorisez $v$ à partir de $- \frac{5 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{5}{x}) = - 5 x^{2}$

Étape 7.1.3

Remettez dans l’ordre $v$ et $- \frac{5}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = - 5 x^{2}$

Étape 7.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{5}{x}$ .

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Étape 7.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Étape 7.2.2

Intégrez $- \frac{5}{x}$ .

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Étape 7.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Étape 7.2.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 7.2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 7.2.2.5

Simplifiez

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

Étape 7.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 5 \ln (x)}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

Étape 7.2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 5}$

Étape 7.2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}}$

Étape 7.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{5}}$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{5}}$ et $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Étape 7.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Étape 7.3.2.3

Associez $\frac{5}{x}$ et $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Étape 7.3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x}$ .

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Étape 7.3.2.4.1

Multipliez $\frac{5 v}{x}$ par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Étape 7.3.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.2.4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 7.3.2.4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Étape 7.3.2.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Étape 7.3.2.4.2.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Étape 7.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - 5 \frac{1}{x^{5}} x^{2}$

Étape 7.3.4

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{5}} x^{2}$

Étape 7.3.5

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.3.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

Étape 7.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

Étape 7.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{3}}$

Étape 7.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - \frac{5}{x^{3}}$

Étape 7.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] = - \frac{5}{x^{3}}$

Étape 7.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] d x = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

Étape 7.6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{5}} v = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

Étape 7.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{5}} v = - \int \frac{5}{x^{3}} d x$

Étape 7.7.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{5}} v = - (5 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Étape 7.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.7.3.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 7.7.3.2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 7.7.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 7.7.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 7.7.3.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{- 3} d x$

Étape 7.7.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 7.7.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.7.5.1

Simplifiez

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Étape 7.7.5.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 7.7.5.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 7.7.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 7.7.5.3

Simplifiez

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Étape 7.7.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = 5 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 7.7.5.3.2

Associez $5$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

Étape 7.8

Résolvez $v$ .

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Étape 7.8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.8.1.1

Soustrayez $\frac{5}{2 x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} = C$

Étape 7.8.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

Étape 7.8.1.3

Associez $\frac{1}{x^{5}}$ et $v$ .

$\frac{v}{x^{5}} - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

Étape 7.8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $v$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.8.2.1

Ajoutez $\frac{5}{2 x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{v}{x^{5}} - C = \frac{5}{2 x^{2}}$

Étape 7.8.2.2

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{v}{x^{5}} = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

Étape 7.8.3

Multipliez les deux côtés par $x^{5}$ .

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Étape 7.8.4

Simplifiez

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Étape 7.8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 7.8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Étape 7.8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$v = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Étape 7.8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.8.4.2.1

Simplifiez $(\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$ .

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Étape 7.8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{5}{2 x^{2}} x^{5} + C x^{5}$

Étape 7.8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.8.4.2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{2}$ .

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} x^{5} + C x^{5}$

Étape 7.8.4.2.1.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Étape 7.8.4.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Étape 7.8.4.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{5}{2} x^{3} + C x^{5}$

Étape 7.8.4.2.1.3

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{3}$ .

$v = \frac{5 x^{3}}{2} + C x^{5}$

Étape 7.8.4.2.1.4

Remettez dans l’ordre $\frac{5 x^{3}}{2}$ et $C x^{5}$ .

$v = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$

Étape 8

Remplacez $v$ par $y^{- 5}$ .

$y^{- 5} = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$