Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = x^{2} - 8 x + 2$ . Alors $d u = (2 x - 8) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = (x - 4) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = x^{2} - 8 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $x^{2} - 8 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 2]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$2 x - 8 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 8 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$2 x - 8$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 8 x + 2$ .

$y + C_{1} = {(x^{2} - 8 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = {(x^{2} - 8 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + K$