Calcul infinitésimal Exemples

$x d y + (3 x - 2 y) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x - 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x - 2 y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 2.2.2

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Étape 2.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$- 2 = 1$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 2 = 1$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{- 2 - 1}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x$ .

$\frac{- 2 - 1}{x}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{- 3}{x}$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Étape 6.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- 3 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Étape 6.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $3 x - 2 y$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(3 x - 2 y) \frac{1}{x^{3}} d x + x d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $3 x - 2 y$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $x$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{2}} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = \frac{1}{x^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} y + C$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}} + g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y}{x^{2}} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 12.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 12.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.5.2

Associez des termes.

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Étape 12.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$y \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.5.2.3

Associez $y$ et $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.5.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$- \frac{2 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 12.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1.1.1

Soustrayez $\frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} - \frac{3 x - 2 y}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x - 2 y)}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x) - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x + 2 y}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.4

Associez les termes opposés dans $- 2 y - 3 x + 2 y$ .

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Étape 13.1.1.4.1

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x + 0}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.4.2

Additionnez $- 3 x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.5.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 13.1.1.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.1.5.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

Étape 13.1.1.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

Étape 13.1.1.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3}{x^{2}} = 0$

Étape 13.1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3}{x^{2}} = 0$

Étape 13.1.2

Ajoutez $\frac{3}{x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $\frac{3}{x^{2}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 14.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 14.4

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (x) = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 14.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 14.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 14.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (x) = 3 \int x^{- 2} d x$

Étape 14.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$g (x) = 3 (- x^{- 1} + C)$

Étape 14.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.7.1

Réécrivez $3 (- x^{- 1} + C)$ comme $3 (- \frac{1}{x}) + C$ .

$g (x) = 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Étape 14.7.2

Simplifiez

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Étape 14.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$g (x) = - 3 \frac{1}{x} + C$

Étape 14.7.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = \frac{- 3}{x} + C$

Étape 14.7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (x) = - \frac{3}{x} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} - \frac{3}{x} + C$