Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y - x$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y - x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x$ .

$2 x = 2 x$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x = 2 x$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 2 x y - x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

Étape 5.2

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Étape 5.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 5.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 5.7.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 5.7.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 5.7.5

Pour écrire $y x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 5.7.6

Associez $y x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 5.7.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

Étape 5.7.8

Déplacez $2$ à gauche de $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

Étape 5.7.9

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

Étape 5.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y x^{2} - x^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.3.3

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y x^{2}$ par rapport à $y$ est $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.3.5

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.3.7

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.3.8

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.3.9

Associez $\frac{2}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.3.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.3.10.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $y^{2} + x^{2} - x^{2}$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $y^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $y^{2}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Étape 10.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.4

Pour écrire $y x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.5

Associez $y x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.7.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Étape 12.1.7.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.7.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.7.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12.1.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Étape 12.2

Pour écrire $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Étape 12.3

Pour écrire $\frac{y^{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 12.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.4.1

Multipliez $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 12.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 12.4.3

Multipliez $\frac{y^{3}}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

Étape 12.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Étape 12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Étape 12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Étape 12.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Étape 12.6.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Étape 12.6.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Étape 12.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Étape 12.6.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Étape 12.6.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Étape 12.6.8

Déplacez $2$ à gauche de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$