Calcul infinitésimal Exemples

$(x y^{2} + 4 y^{2}) d y - 5 x d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - 5 x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 5 x]$

Étape 2.2

Comme $- 5 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2} + 4 y^{2}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} + 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $y^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y^{2}$ .

$0 = y^{2}$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$0 = y^{2}$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y^{2}$ .

$\frac{0 - y^{2}}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

$\frac{0 - y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $y^{2}$ de $0$ .

$\frac{- y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + 4 y^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $4 y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x + 4}$

Étape 5.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x + 4}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 4} d x}$

Étape 6.2

Laissez $u = x + 4$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = x + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 6.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 6.2.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 6.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Étape 6.4

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Étape 6.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 4 |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- \ln (| x + 4 |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 4 |}^{- 1})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x + 4 |}^{- 1} + C$

Étape 6.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 4 |} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x + 4}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $- 5 x$ par $\frac{1}{x + 4}$ .

$- 5 x \frac{1}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $- 5 x \frac{1}{x + 4}$ .

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Étape 7.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x + 4}$ .

$x \frac{- 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2.2

Associez $x$ et $\frac{- 5}{x + 4}$ .

$\frac{x \cdot - 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.3

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 5 \cdot x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $x y^{2} + 4 y^{2}$ par $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) \frac{1}{x + 4} d y = 0$

Étape 7.6

Multipliez $x y^{2} + 4 y^{2}$ par $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{x y^{2} + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Étape 7.7

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Étape 7.7.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Étape 7.7.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $4 y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}{x + 4} d y = 0$

Étape 7.7.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Étape 7.8

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 7.8.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Étape 7.8.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = y^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Étape 12.3

Comme $\frac{1}{3} y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Étape 12.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- \frac{5 x}{x + 4}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Étape 13.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int \frac{5 x}{x + 4} d x$

Étape 13.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - (5 \int \frac{x}{x + 4} d x)$

Étape 13.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$g (x) = - 5 \int \frac{x}{x + 4} d x$

Étape 13.6

Divisez $x$ par $x + 4$ .

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Étape 13.6.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$x$

$0$

Étape 13.6.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	+	$0$

Étape 13.6.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$4$

Étape 13.6.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 4$

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$

Étape 13.6.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$
					-	$4$

Étape 13.6.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$g (x) = - 5 \int 1 - \frac{4}{x + 4} d x$

Étape 13.7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = - 5 (\int d x + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Étape 13.8

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = - 5 (x + C + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Étape 13.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - 5 (x + C - \int \frac{4}{x + 4} d x)$

Étape 13.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - 5 (x + C - (4 \int \frac{1}{x + 4} d x))$

Étape 13.11

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

Étape 13.12

Laissez $u = x + 4$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.12.1

Laissez $u = x + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 13.12.1.1

Différenciez $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 13.12.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 13.12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 13.12.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 13.12.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 13.12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 13.13

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 (\ln (| u |) + C))$

Étape 13.14

Simplifiez

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| u |)) + C$

Étape 13.15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Étape 15.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.2.1

Simplifiez $- 4 \ln (| x + 4 |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({| x + 4 |}^{4})) + C$

Étape 15.1.2.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x + 4 |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Étape 15.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x - 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Étape 15.1.4

Multipliez $- 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4}))$ .

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Étape 15.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + 5 \ln ({(x + 4)}^{4}) + C$

Étape 15.1.4.2

Simplifiez $5 \ln ({(x + 4)}^{4})$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({({(x + 4)}^{4})}^{5}) + C$

Étape 15.1.5

Multipliez les exposants dans ${({(x + 4)}^{4})}^{5}$ .

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Étape 15.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{4 \cdot 5}) + C$

Étape 15.1.5.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{20}) + C$

Étape 15.2

Pour écrire $\ln ({(x + 4)}^{20})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Étape 15.3

Associez $\ln ({(x + 4)}^{20})$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 15.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.5.1

Multipliez $\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3$ .

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Étape 15.5.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln ({(x + 4)}^{20})$ et $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + 3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})}{3} + C$

Étape 15.5.1.2

Simplifiez $3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({({(x + 4)}^{20})}^{3})}{3} + C$

Étape 15.5.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 4)}^{20})}^{3}$ .

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Étape 15.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20 \cdot 3})}{3} + C$

Étape 15.5.2.2

Multipliez $20$ par $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{60})}{3} + C$