Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} + \frac{1}{36}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $\frac{1}{36}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{36}$ comme ${(\frac{1}{6})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{6}$ .

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.4.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{6}$ .

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.4.4

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$6 \arctan (6 x) = t + K$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $6 \arctan (6 x) = t + K$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $6 \arctan (6 x) = t + K$ par $6$ .

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\arctan (6 x)$ par $1$ .

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Étape 3.2

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $0$ et $x$ par $2$ dans $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $6$ .

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

Étape 6.4

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $K$ de l’intérieur de la tangente.

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

Étape 6.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.1

Associez les termes opposés dans $\frac{0}{6} + K$ .

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Étape 6.5.1.1

Divisez $0$ par $6$ .

$0 + K = \arctan (12)$

Étape 6.5.1.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = \arctan (12)$

Étape 6.6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.1

Évaluez $\arctan (12)$ .

$K = 1.48765509$

Étape 6.7

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Étape 6.8

Résolvez $K$ .

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Étape 6.8.1

Supprimez les parenthèses.

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

Étape 6.8.2

Supprimez les parenthèses.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Étape 6.8.3

Additionnez $3.14159265$ et $1.48765509$ .

$K = 4.62924774$

Étape 6.9

Déterminez la période de $\tan (\frac{0}{6} + K)$ .

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Étape 6.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 6.9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 6.9.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.10

La période de la fonction $\tan (\frac{0}{6} + K)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.11

Consolidez $1.48765509 + π n$ et $4.62924774 + π n$ en $1.48765509 + π n$ .

$K = 1.48765509 + π n$

Étape 7

Remplacez $K$ par $1.48765509 + π n$ dans $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $1.48765509 + π n$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$