Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y (\frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{2 t}{1 + t^{2}}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{(1 + t^{2}) y}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(1 + t^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 1 + t^{2}$ . Alors $d u = 2 t d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 1 + t^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 t$ .

$2 t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + t^{2} |) + 2 C$

Étape 3.3

Simplifiez $2 \ln (| 1 + t^{2} |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y^{2} = \ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.5

Retirez la valeur absolue dans ${| 1 + t^{2} |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$