Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y \tan (x) - 2 \sin (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $y \tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - y \tan (x) = - 2 \sin (x)$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \tan (x)) = - 2 \sin (x)$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 1 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) y = - 2 \sin (x)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1 \tan (x)$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 \tan (x) d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- 1 \tan (x)$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \tan (x) d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{- \ln (| \sec (x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (\sec (x))}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (\sec^{- 1} (x))}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sec^{- 1} (x)$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec (x)}$

Étape 2.7

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Étape 2.8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x)$

Étape 2.9

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\cos (x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x) y) = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.1

Déplacez les parenthèses.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 3.2.1.2

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $- 1 \tan (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) \cos (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 3.2.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\tan (x) \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez $\cos (x) (- 1 \tan (x) y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 3.2.1.5

Annulez les facteurs communs.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 3.2.2

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - y \sin (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) y] = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\cos (x) y] d x = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\cos (x) y = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\cos (x) y = - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 7.2

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.2.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 7.2.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\cos (x) y = - 2 \int - u d u$

Étape 7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\cos (x) y = - 2 (- \int u d u)$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\cos (x) y = 2 \int u d u$

Étape 7.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 7.6

Simplifiez

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Étape 7.6.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Étape 7.6.2

Simplifiez

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Étape 7.6.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Étape 7.6.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Étape 7.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) y = 1 u^{2} + C$

Étape 7.6.2.3

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\cos (x) y = u^{2} + C$

Étape 7.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ par $\cos (x)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.3.1.1.2.4

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

Étape 8.3.1.2

Séparez les fractions.

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 8.3.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \sec (x)$

Étape 8.3.1.4

Divisez $C$ par $1$ .

$y = \cos (x) + C \sec (x)$