Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d u}{d r} = \frac{3 + \sqrt{r}}{7 + \sqrt{u}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $7 + \sqrt{u}$ .

$(7 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (7 + \sqrt{u}) \frac{3 + \sqrt{r}}{7 + \sqrt{u}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $7 + \sqrt{u}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(7 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (7 + \sqrt{u}) \frac{3 + \sqrt{r}}{7 + \sqrt{u}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(7 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = 3 + \sqrt{r}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(7 + \sqrt{u}) d u = (3 + \sqrt{r}) d r$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 7 + \sqrt{u} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 7 d u + \int \sqrt{u} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$7 u + C_{1} + \int \sqrt{u} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Étape 2.2.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$7 u + C_{1} + \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$7 u + C_{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$7 u + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Étape 2.2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = \int 3 + \sqrt{r} d r$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = \int 3 d r + \int \sqrt{r} d r$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + C_{4} + \int \sqrt{r} d r$

Étape 2.3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{r}$ comme $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + C_{4} + \int r^{\frac{1}{2}} d r$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $r^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $r$ est $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + C_{4} + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = 3 r + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u + C_{3} = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 3 r + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 7 u = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 3 r + K$