Calcul infinitésimal Exemples

$(x + y e^{2 x y}) d x + 1 x e^{2 x y} d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x + y e^{2 x y}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{2 x y}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y e^{2 x y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

Étape 1.2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = 2 x y$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.3

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Étape 1.3.7

Multipliez $e^{2 x y}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Additionnez $0$ et $y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

Étape 1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 x e^{2 x y}]$

Étape 2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{2 x y}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x y$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Étape 2.5.5

Multipliez $e^{2 x y}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

Étape 2.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ .

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 x e^{2 x y} d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = \int x e^{2 x y} d y$

Étape 5.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x \int e^{2 x y} d y$

Étape 5.3

Laissez $u = 2 x y$ . Alors $d u = 2 x d y$ , donc $\frac{1}{2 x} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.3.1

Laissez $u = 2 x y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 5.3.1.1

Différenciez $2 x y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x y]$

Étape 5.3.1.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 5.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x \cdot 1$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x$

Étape 5.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$f (x, y) = x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u$

Étape 5.4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u$

Étape 5.5

Comme $\frac{1}{2 x}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2 x}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u)$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Associez $\frac{1}{2 x}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

Étape 5.6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

Étape 5.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 5.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Étape 5.8

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Étape 5.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y e^{2 x y}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} e^{2 x y}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x y$ .

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Étape 8.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3.3

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3.6

Associez $e^{2 x y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{2 x y}}{2} (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3.7

Associez $2$ et $\frac{e^{2 x y}}{2}$ .

$\frac{2 e^{2 x y}}{2} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3.8

Associez $\frac{2 e^{2 x y}}{2}$ et $y$ .

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.3.9.2

Divisez $e^{2 x y} y$ par $1$ .

$e^{2 x y} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{2 x y} y + \frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y = x + y e^{2 x y}$

Étape 8.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x y} = x + y e^{2 x y}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $y e^{2 x y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $y e^{2 x y}$ de $y e^{2 x y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Étape 10

Déterminez la primitive de $x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Étape 10.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x y}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$