Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 x {(y + 4)}^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(y + 4)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} (3 x {(y + 4)}^{2})$

Étape 1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} (x {(y + 4)}^{2})$

Étape 1.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{{(y + 4)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} (x {(y + 4)}^{2})$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de ${(y + 4)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Factorisez ${(y + 4)}^{2}$ à partir de $x {(y + 4)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} ({(y + 4)}^{2} x)$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} ({(y + 4)}^{2} x)$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} d y = 3 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} d y = \int 3 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Laissez $u = y + 4$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 4$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int 3 x d x$

Étape 2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int 3 x d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int 3 x d x$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int 3 x d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int 3 x d x$

Étape 2.2.4

Réécrivez $- u^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int 3 x d x$

Étape 2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 4$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = \int 3 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y + 4} = \frac{3}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 4, 2, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 3.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.6

Le plus petit multiple commun de $1, 2, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2$

Étape 3.2.7

Le facteur pour $y + 4$ est $y + 4$ lui-même.

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 3.2.8

Le plus petit multiple commun de $y + 4$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y + 4$

Étape 3.2.9

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$2 (y + 4)$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$ par $2 (y + 4)$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$ par $2 (y + 4)$ .

$- \frac{1}{y + 4} (2 (y + 4)) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y + 4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y + 4} (2 (y + 4)) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Étape 3.3.2.1.2

Factorisez $y + 4$ à partir de $2 (y + 4)$ .

$\frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \cdot 2) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Étape 3.3.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \cdot 2) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Étape 3.3.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 2 = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 = 2 \frac{3 x^{2}}{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 = 2 \frac{3 x^{2}}{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Étape 3.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 = 3 x^{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Étape 3.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 = 3 x^{2} y + 3 x^{2} \cdot 4 + K (2 (y + 4))$

Étape 3.3.3.1.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + K (2 (y + 4))$

Étape 3.3.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K (y + 4)$

Étape 3.3.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 2 K \cdot 4$

Étape 3.3.3.1.7

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K = - 2$ .

$3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K = - 2$

Étape 3.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Soustrayez $12 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y + 2 K y + 8 K = - 2 - 12 x^{2}$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $8 K$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y + 2 K y = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $3 x^{2} y + 2 K y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $3 x^{2} y$ .

$y (3 x^{2}) + 2 K y = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 K y$ .

$y (3 x^{2}) + y (2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (3 x^{2}) + y (2 K)$ .

$y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$ par $3 x^{2} + 2 K$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$ par $3 x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y (3 x^{2} + 2 K)}{3 x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 x^{2} + 2 K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 x^{2} + 2 K)}{3 x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 2 - 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 2 - 12 x^{2} - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 - 12 x^{2} - 8 K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 (- 1) - 12 x^{2} - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2}) - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 8 K$ .

$y = \frac{2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2})$ .

$y = \frac{2 (- 1 - 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 1 - 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)$ .

$y = \frac{2 (- 1 - 6 x^{2} - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1) - 6 x^{2} - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1) - (6 x^{2}) - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (6 x^{2})$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2}) - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 K$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2}) - (4 K))}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1 + 6 x^{2}) - (4 K)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2} + 4 K))}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4.3.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 (1 + 6 x^{2} + 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{2 (1 + 6 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K}$