Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x + 2) d y + (2 y - 5) d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $(2 y - 5) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(3 x + 2) d y = - (2 y - 5) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)}$ .

$\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $3 x + 2$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = - \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (2 y - 5) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $2 y - 5$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (2 y - 5) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $2 y - 5$ à partir de $(3 x + 2) (2 y - 5)$ .

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(2 y - 5) (3 x + 2)} (2 y - 5) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(2 y - 5) (3 x + 2)} (2 y - 5) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{3 x + 2} d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 y - 5} d y = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = 2 y - 5$ . Alors $d u_{1} = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 y - 5$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $2 y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 5]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y - 5$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Étape 4.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 4.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Étape 4.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Étape 4.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Étape 4.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.2.1.1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 4.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 y - 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = 3 x + 2$ . Alors $d u_{2} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = 3 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.3.2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 4.3.2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |)) = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 2 y - 5 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Associez $\ln (| 3 x + 2 |)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C)$

Étape 5.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C \cdot \frac{3}{3})$

Étape 5.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + \frac{C \cdot 3}{3})$

Étape 5.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + C \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.2.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C}{3}$

Étape 5.2.2.1.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.5.1

Associez $2$ et $\frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C)}{3}$

Étape 5.2.2.1.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (| 3 x + 2 |)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |)) + 3 C)}{3}$

Étape 5.2.2.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $3 C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |)) - (- 3 C))}{3}$

Étape 5.2.2.1.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\ln (| 3 x + 2 |)) - (- 3 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C))}{3}$

Étape 5.2.2.1.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.5.5.1

Réécrivez $- (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)$ comme $- 1 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- 1 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C))}{3}$

Étape 5.2.2.1.5.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 2 y - 5 |)} = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} = | 2 y - 5 |$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$ .

$| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

Étape 5.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 y - 5 = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

Étape 5.5.3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$

Étape 5.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 5.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 5.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5}{2}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) + C)}{3}} + 5}{2}$