Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 4 x$

Étape 1

Laissez $v = \frac{d y}{d x}$ . Puis $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $v$ et $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ par $\frac{d v}{d x}$ pour obtenir une équation différentielle avec la variable dépendante $v$ et la variable indépendante $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = 4 x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 x + C_{1}}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (4 x)$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (4 x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = 4 x e^{2 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 x} v = \int 4 x e^{2 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} v = 4 \int x e^{2 x} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Étape 7.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Étape 7.5

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.5.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 7.5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1})$

Étape 7.6

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1})$

Étape 7.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}))$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.9

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$

Étape 7.10

Réécrivez $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$ comme $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$

Étape 7.11

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Étape 7.12

Simplifiez

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Étape 7.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.12.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Étape 7.12.1.2

Associez $\frac{x}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Étape 7.12.1.3

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Étape 7.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 x} v = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Étape 7.12.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.12.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{2 x} v = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Étape 7.12.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} v = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Étape 7.12.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Étape 7.12.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.12.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{2 x}}{4}$ dans le numérateur.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

Étape 7.12.4.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

Étape 7.12.4.3

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C_{2}$

$e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ par $e^{2 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ par $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $2 x$ par $1$ .

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$v = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Étape 10

Réécrivez l’équation.

$d y = (2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}) d x$

Étape 11

Intégrez les deux côtés.

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Étape 11.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Étape 11.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{3} = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Étape 11.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Étape 11.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Étape 11.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Étape 11.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Étape 11.3.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Étape 11.3.6

Comme $C_{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $C_{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{2 x}} d x$

Étape 11.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.7.1

Inversez l’exposant de $e^{2 x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

Étape 11.3.7.2

Simplifiez

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Étape 11.3.7.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Étape 11.3.7.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x$

Étape 11.3.7.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 2 x} d x$

Étape 11.3.7.2.2

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- 2 x} d x$

Étape 11.3.8

Laissez $u_{2} = - 2 x$ . Alors $d u_{2} = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.3.8.1

Laissez $u_{2} = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 11.3.8.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 11.3.8.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.3.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 11.3.8.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 11.3.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 11.3.9

Simplifiez

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Étape 11.3.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 11.3.9.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 11.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Étape 11.3.11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Étape 11.3.12

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{6}))$

Étape 11.3.13

Simplifiez

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{u_{2}}) + C_{7}$

Étape 11.3.14

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 x$ .

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) + C_{7}$

Étape 11.3.15

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{3} = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C_{2} - x + C_{7}$

Étape 11.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C - x + D$