Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} + 4 y = 12$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 4$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 4 d t}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{4 t + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{4 t}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{4 t}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + e^{4 t} (4 y) = e^{4 t} \cdot 12$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = e^{4 t} \cdot 12$

Étape 2.3

Déplacez $12$ à gauche de $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 12 \cdot e^{4 t}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 12 e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 y e^{4 t} = 12 e^{4 t}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} y] = 12 e^{4 t}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{4 t} y] d t = \int 12 e^{4 t} d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{4 t} y = \int 12 e^{4 t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $12$ est constant par rapport à $t$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 t} y = 12 \int e^{4 t} d t$

Étape 6.2

Laissez $u = 4 t$ . Alors $d u = 4 d t$ , donc $\frac{1}{4} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = 4 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Étape 6.2.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{4 t} y = 12 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Étape 6.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 t} y = 12 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 t} y = 12 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $12$ .

$e^{4 t} y = \frac{12}{4} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e^{4 t} y = \frac{4 \cdot 3}{4} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$e^{4 t} y = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{4 t} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{4 t} y = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$e^{4 t} y = 3 \int e^{u} d u$

Étape 6.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{4 t} y = 3 (e^{u} + C)$

Étape 6.7

Simplifiez

$e^{4 t} y = 3 e^{u} + C$

Étape 6.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 t$ .

$e^{4 t} y = 3 e^{4 t} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{4 t} y = 3 e^{4 t} + C$ par $e^{4 t}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{4 t} y = 3 e^{4 t} + C$ par $e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{4 t}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{4 t}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $3$ par $1$ .

$y = 3 + \frac{C}{e^{4 t}}$