Calcul infinitésimal Exemples

$e^{2 x} d y + (2 e^{2 x} y - x) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(2 e^{2 x} y - x) d x + e^{2 x} d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 e^{2 x} y - x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y - x]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{2 x} y - x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2 e^{2 x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 e^{2 x} y$ par rapport à $y$ est $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $2 e^{2 x}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x}$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = e^{2 x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \cdot 2$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x}$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 e^{2 x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} d y$

Étape 6

Intégrez $N (x, y) = e^{2 x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{2 x} y + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y + g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{2 x} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 9.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.5

Simplifiez

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Étape 9.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 9.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 e^{2 x} y - x$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{2 x} y - x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x} - x$

Étape 10.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1.2.1

Soustrayez $2 y e^{2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$

Étape 10.1.2.2

Associez les termes opposés dans $2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$ .

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Étape 10.1.2.2.1

Soustrayez $2 y e^{2 x}$ de $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

Étape 10.1.2.2.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

Étape 11

Déterminez la primitive de $- x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Étape 11.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int x d x$

Étape 11.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 11.5

Réécrivez $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 13

Simplifiez $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Étape 13.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 13.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = y e^{2 x} - \frac{x^{2}}{2} + C$