Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x + 16}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \sqrt{x + 16} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \sqrt{x + 16} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{x + 16} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = x + 16$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = x + 16$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $x + 16$ .

$\frac{d}{d x} [x + 16]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} d u$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 16$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} {(x + 16)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{2}{3} {(x + 16)}^{\frac{3}{2}} + K$