Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x + 3) y^{6} d x + x^{4} (4 y + 5) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(2 x + 3) y^{6} d x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} (4 y + 5) d y = - (2 x + 3) y^{6} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{4} y^{6}}$ .

$\frac{1}{x^{4} y^{6}} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} y^{6}$ .

$\frac{1}{x^{4} (y^{6})} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{4} y^{6}} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{6}} (4 y + 5) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{y^{6}}$ par $4 y + 5$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = - \frac{1}{x^{4} y^{6}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y^{6}$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{4} y^{6}}$ dans le numérateur.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{x^{4} y^{6}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y^{6}$ à partir de $x^{4} y^{6}$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y^{6}$ à partir de $(2 x + 3) y^{6}$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} (y^{6} (2 x + 3)) d x$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} (y^{6} (2 x + 3)) d x$

Étape 3.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{x^{4}} (2 x + 3) d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = - \frac{1}{x^{4}} (2 x + 3) d x$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{1}{x^{4}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{4}}$ dans le numérateur.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x^{4}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Étape 3.7.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Étape 3.7.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Étape 3.7.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Étape 3.7.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x^{3}} \cdot 2 - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Étape 3.8

Associez $\frac{- 1}{x^{3}}$ et $2$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1 \cdot 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Étape 3.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Étape 3.10

Multipliez $- \frac{1}{x^{4}} \cdot 3$ .

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Étape 3.10.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}) d x$

Étape 3.10.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}) d x$

Étape 3.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}) d x$

Étape 3.11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1.1

Retirez $y^{6}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (4 y + 5) {(y^{6})}^{- 1} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{6})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 y + 5) y^{6 \cdot - 1} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\int (4 y + 5) y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $(4 y + 5) y^{- 6}$ .

$\int 4 y \cdot y^{- 6} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.3

Multipliez $y$ par $y^{- 6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.3.1

Déplacez $y^{- 6}$ .

$\int 4 (y^{- 6} y) + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $y^{- 6}$ par $y$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (y^{- 6} y^{1}) + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 y^{- 6 + 1} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $- 6$ et $1$ .

$\int 4 y^{- 5} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 y^{- 5} d y + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int y^{- 5} d y + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 5}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{4} y^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} y^{- 4} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.7

Simplifiez

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Étape 4.2.7.1

Associez $y^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{y^{- 4}}{4} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.7.2

Placez $y^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.8

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 \int y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 6}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{5} y^{- 5}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{1}{5} y^{- 5} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.10

Simplifiez

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Étape 4.2.10.1

Simplifiez

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Étape 4.2.10.1.1

Associez $y^{- 5}$ et $\frac{1}{5}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{y^{- 5}}{5} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.10.1.2

Placez $y^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.10.2

Simplifiez

$\frac{- 1}{y^{4}} + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}}) + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.10.3

Simplifiez

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Étape 4.2.10.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y^{4}} + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}}) + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.10.3.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - 5 \frac{1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.10.3.3

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5 y^{5}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{- 5}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.10.3.4

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 4.2.10.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.10.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.10.3.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 y^{5}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (y^{5})} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.10.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.10.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{- 1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.2.10.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.4.2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.4.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.4.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.6

Simplifiez

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Étape 4.3.6.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.6.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Étape 4.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.9.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Étape 4.3.9.2

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.9.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.9.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.9.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int x^{- 4} d x$

Étape 4.3.10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{5})$

Étape 4.3.11

Simplifiez

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Étape 4.3.11.1

Simplifiez

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Étape 4.3.11.1.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{5})$

Étape 4.3.11.1.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{5})$

Étape 4.3.11.2

Simplifiez

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - \frac{- 1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Étape 4.3.11.3

Simplifiez

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Étape 4.3.11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - - \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Étape 4.3.11.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = 1 \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Étape 4.3.11.3.3

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Étape 4.3.11.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{6}$

Étape 4.3.11.3.5

Associez $3$ et $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C_{6}$

Étape 4.3.11.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.11.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C_{6}$

Étape 4.3.11.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + C_{6}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + K$