Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{6} e^{- y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (7 x^{6} e^{- y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{e^{- y}} (x^{6} e^{- y})$

Étape 1.2.2

Associez $7$ et $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{- y}} (x^{6} e^{- y})$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $x^{6} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{- y}} (e^{- y} x^{6})$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{- y}} (e^{- y} x^{6})$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 7 x^{6}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = 7 x^{6} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 7 x^{6} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 7 x^{6} d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 7 x^{6} d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.1.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 7 x^{6} d x$

Étape 2.2.1.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 7 x^{6} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 7 x^{6} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 7 x^{6} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = 7 \int x^{6} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$e^{y} + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2})$ comme $7 (\frac{1}{7}) x^{7} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 7 (\frac{1}{7}) x^{7} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $7$ et $\frac{1}{7}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{7}{7} x^{7} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{y} + C_{1} = \frac{7}{7} x^{7} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y} + C_{1} = 1 x^{7} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{7}$ par $1$ .

$e^{y} + C_{1} = x^{7} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = x^{7} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{7} + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (x^{7} + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x^{7} + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (x^{7} + K)$