Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{2} e^{y} d x + (x^{3} e^{y} - 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} e^{y}]$

Étape 1.2

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2} e^{y}$ par rapport à $y$ est $3 x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{y}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{3} e^{y} - 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y} - 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} e^{y} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{3} e^{y}$ par rapport à $x$ est $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2} + 0$

Étape 2.5

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Étape 2.5.1

Additionnez $3 e^{y} x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2}$

Étape 2.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{y} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{y}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x^{2} e^{y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 x^{2} e^{y}$ .

$3 x^{2} e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$3 x^{2} e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $3 e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , placez $3 e^{y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 e^{y} \int x^{2} d x$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 5.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $3 e^{y} \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} e^{y} x^{3} + C$

Étape 5.3.2.2

Associez $\frac{3}{3}$ et $e^{y}$ .

$f (x, y) = \frac{3 e^{y}}{3} x^{3} + C$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{3 e^{y}}{3} x^{3} + C$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $e^{y}$ par $1$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{y} - 1$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3} + g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{y} x^{3} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{y} x^{3}$ par rapport à $y$ est $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} - 1$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} = x^{3} e^{y} - 1$

Étape 8.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} e^{y} = x^{3} e^{y} - 1$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x^{3} e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} - 1 - x^{3} e^{y}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{3} e^{y} - 1 - x^{3} e^{y}$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $x^{3} e^{y}$ de $x^{3} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 1$

Étape 9.1.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- 1$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 1 d y$

Étape 10.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = - y + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = e^{y} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} - y + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = e^{y} x^{3} - y + C$ .

$f (x, y) = x^{3} e^{y} - y + C$