Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} = 3 y^{2} - 4 y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d x = (3 y^{2} - 4 y) d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d x = \int 3 y^{2} - 4 y d y$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$x + C_{1} = \int 3 y^{2} - 4 y d y$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x + C_{1} = \int 3 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x + C_{1} = 3 \int y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$x + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) + \int - 4 y d y$

Étape 2.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$x + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) - 4 \int y d y$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$x + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$x + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$x + C_{1} = \frac{3}{3} y^{3} - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x + C_{1} = \frac{3}{3} y^{3} - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x + C_{1} = 1 y^{3} - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$x + C_{1} = y^{3} - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{1} = y^{3} + \frac{- 4}{2} y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.5

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.3.6.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$x + C_{1} = y^{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x + C_{1} = y^{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x + C_{1} = y^{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x + C_{1} = y^{3} + \frac{- 2}{1} y^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.5.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$x + C_{1} = y^{3} - 2 y^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$x = y^{3} - 2 y^{2} + K$