Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

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Étape 1.1.1

Ajoutez $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

Étape 1.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{3}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{3}{2 t + 25}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

Étape 2.2.2

Laissez $u = 2 t + 25$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = 2 t + 25$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Étape 2.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t + 25$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Étape 2.2.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Étape 2.2.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Étape 2.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Étape 2.2.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.2.1.4.1

Comme $25$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $25$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.2.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Étape 2.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t + 25$ .

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{3}{2 t + 25}$ et $y$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Étape 3.2.2

Associez ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Étape 3.2.3

Factorisez $2 t + 25$ à partir de ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Étape 3.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez par $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Étape 3.2.4.2

Annulez le facteur commun.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Étape 3.2.4.3

Réécrivez l’expression.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Étape 3.2.4.4

Divisez ${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ par $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Étape 3.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 7.2

Laissez $u = 2 t + 25$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.2.1

Laissez $u = 2 t + 25$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 7.2.1.1

Différenciez $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Étape 7.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t + 25$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Étape 7.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Étape 7.2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Étape 7.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Étape 7.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Étape 7.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.2.1.4.1

Comme $25$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $25$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 7.2.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Étape 7.3

Associez $u^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Étape 7.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7.5.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7.5.3

Multipliez $\int u^{\frac{3}{2}} d u$ par $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t + 25$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ par ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ par ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{2}{5}$ et ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.3.3

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.4.1

Associez $C$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.3.5

Déplacez $5$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.3.7

Multipliez $\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ par $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$