Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 2 \frac{y}{x^{2}} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x^{2}} = 0$

Étape 1.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x^{2}} = 0$

Étape 1.1.2

Ajoutez $\frac{2 y}{x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 y}{x^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (2 y)}{y x^{2}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (2 y)}{y x^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (- x^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $2 (- x^{- 1} + C_{2})$ comme $2 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = - \frac{2}{x} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{x} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{- \frac{2}{x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{x} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- \frac{2}{x} + C}$ comme $e^{- \frac{2}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{2}{x}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- \frac{2}{x}}$