Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 2) d x - x d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(x + 2) d x$ des deux côtés de l’équation.

$- x d y = - (x + 2) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (- x) d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 d y = - \frac{1}{x} (x + 2) d x$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 d y = (- \frac{1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Étape 3.6

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 1 d y = (- 1 - 2 \frac{1}{x}) d x$

Étape 3.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x}$ .

$- 1 d y = (- 1 + \frac{- 2}{x}) d x$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{2}{x}) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - 1 d y = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2

Appliquez la règle de la constante.

$- y + C_{1} = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 4.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Étape 4.3.7

Simplifiez

$- y + C_{1} = - x - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{x}{1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$y = x + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1}$ .

$y = x - 1 \cdot (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (- 2 \ln (| x |))$ comme $- (- 2 \ln (| x |))$ .

$y = x - (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.5

Multipliez $- (- 2 \ln (| x |))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.5.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y = x - - \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = x + 1 \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.5.3

Multipliez $\ln ({| x |}^{2})$ par $1$ .

$y = x + \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.6

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = x + \ln (x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$y = x + \ln (x^{2}) - 1 \cdot C$

Étape 5.3.1.8

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$y = x + \ln (x^{2}) - C$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = x + \ln (x^{2}) + C$