Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d u}{d t} = \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d u}{d t} = \frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{u + 2}{u + 1}$ .

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} (\frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{u + 1}{u + 2}$ par $\frac{t + 1}{t - 1}$ .

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $u + 2$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $u + 1$ .

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{t + 1}{t - 1}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{u + 2}{u + 1} d u = \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{u + 2}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez $u + 2$ par $u + 1$ .

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Étape 2.2.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$u$

$1$

$u$

$2$

Étape 2.2.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $u$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $u$ .

					$1$
	$u$	+	$1$		$u$	+	$2$

Étape 2.2.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$1$

Étape 2.2.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $u + 1$

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$

Étape 2.2.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$
					+	$1$

Étape 2.2.1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 + \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d u + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Étape 2.2.4

Laissez $u_{1} = u + 1$ . Puis $d u_{1} = d u$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.4.1

Laissez $u_{1} = u + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Étape 2.2.4.1.1

Différenciez $u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u + 1]$

Étape 2.2.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u + 1$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Étape 2.2.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [1]$

Étape 2.2.4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$u + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$u + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $u + 1$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $t + 1$ par $t - 1$ .

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Étape 2.3.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$t$

$1$

$t$

$1$

Étape 2.3.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $t$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t$ .

					$1$
	$t$	-	$1$		$t$	+	$1$

Étape 2.3.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			+	$t$	-	$1$

Étape 2.3.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $t - 1$

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$

Étape 2.3.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$
					+	$2$

Étape 2.3.1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{2}{t - 1} d t$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Étape 2.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{t - 1} d t$

Étape 2.3.5

Laissez $u_{2} = t - 1$ . Puis $d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u_{2} = t - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Étape 2.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.5.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t - 1$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$u + \ln (| u + 1 |) = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C$