Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 9$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2} + 9}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 9} (y^{2} + 9)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 9$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 9} (y^{2} + 9)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2} + 9} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2} + 9} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $9$ .

$\int \frac{1}{9 + y^{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{3^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{3^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arctan (\frac{y}{3})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez $\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} + C_{1}$ comme $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$ par $3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Étape 3.1.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arctan (\frac{y}{3})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Étape 3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Étape 3.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\arctan (\frac{y}{3}) = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\arctan (\frac{y}{3}) = 3 \cdot x + K \cdot 3$

Étape 3.1.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$\arctan (\frac{y}{3}) = 3 x + 3 K$

Étape 3.2

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$\frac{y}{3} = \tan (3 x + 3 K)$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y}{3} = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = 3 \tan (3 x + K)$