Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1

Inversez l’exposant de $e^{2 - x^{3}}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.2.4

Multipliez $- x^{3} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

Étape 2.3.2.2.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

Étape 2.3.3

Laissez $u = - 2 + x^{3}$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.3.1

Laissez $u = - 2 + x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Différenciez $- 2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

Étape 2.3.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.3.1.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Étape 2.3.3.1.5

Additionnez $0$ et $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 2.3.5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.6.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.6.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 + x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ comme $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

Étape 6.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ par $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ par $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ .

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Étape 6.3.2.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Étape 7

Remplacez $C$ par $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ dans $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ .

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ et $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Étape 7.3

Factorisez $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ à partir de $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Étape 7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

Étape 7.4.4

Divisez $e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ par $1$ .

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ .

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Étape 7.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

Étape 7.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

Étape 7.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

Étape 7.5.2

Multipliez $e^{- 2 + x^{3}}$ par $e^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

Étape 7.5.2.2

Associez les termes opposés dans $- 2 + x^{3} + 2$ .

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Étape 7.5.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

Étape 7.5.2.2.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$