Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

Étape 1

Laissez $v = \frac{d y}{d x}$ . Puis $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $v$ et $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ par $\frac{d v}{d x}$ pour obtenir une équation différentielle avec la variable dépendante $v$ et la variable indépendante $x$ .

$\frac{d v}{d x} = v$

Étape 2

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

Étape 2.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

Étape 3.2

L’intégrale de $\frac{1}{v}$ par rapport à $v$ est $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

Étape 3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

Étape 4

Résolvez $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

Étape 4.2

Réécrivez $\ln (| v |) = x + C_{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x + C_{3}} = | v |$

Étape 4.3

Résolvez $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Réécrivez l’équation comme $| v | = e^{x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{x + C_{3}}$

Étape 4.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez $e^{x + C_{3}}$ comme $e^{x} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

Étape 5.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = C_{4} e^{x}$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

Étape 7

Réécrivez l’équation.

$d y = C_{4} e^{x} d x$

Étape 8

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

Étape 8.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Comme $C_{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $C_{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

Étape 8.3.2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

Étape 8.3.3

Simplifiez

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

Étape 8.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

Étape 8.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = e^{x} C + D$