Calcul infinitésimal Exemples

$x (\frac{d y}{d x} + 1) = x^{3} - 2 y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x (\frac{d y}{d x} + 1) = x^{3} - 2 y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1.1

Divisez chaque terme dans $x (\frac{d y}{d x} + 1) = x^{3} - 2 y$ par $x$ .

$\frac{x (\frac{d y}{d x} + 1)}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 2 y}{x}$

Étape 1.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\frac{d y}{d x} + 1)}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 2 y}{x}$

Étape 1.1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x} + 1$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 1 = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 2 y}{x}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 1.1.1.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + 1 = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{- 2 y}{x}$

Étape 1.1.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 1 = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{- 2 y}{x}$

Étape 1.1.1.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + 1 = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- 2 y}{x}$

Étape 1.1.1.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + 1 = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- 2 y}{x}$

Étape 1.1.1.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + 1 = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- 2 y}{x}$

Étape 1.1.1.3.1.1.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 1 = x^{2} + \frac{- 2 y}{x}$

Étape 1.1.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} + 1 = x^{2} - \frac{2 y}{x}$

Étape 1.1.2

Ajoutez $\frac{2 y}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + 1 + \frac{2 y}{x} = x^{2}$

Étape 1.1.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} - 1$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = x^{2} - 1$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2} - 1$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{2}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{2}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} + x^{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} - 1 \cdot x^{2}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} - x^{2}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4} - x^{2}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} - x^{2} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int x^{4} - x^{2} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x^{2} y = \int x^{4} d x + \int - x^{2} d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - x^{2} d x$

Étape 7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - \int x^{2} d x$

Étape 7.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 7.5

Simplifiez

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{2}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{1}{5} x^{3}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.3

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- \frac{1}{3} x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{- \frac{1}{3} x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.3.2.4

Divisez $- \frac{1}{3} x$ par $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} - \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} - \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{2}}$